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正項級数の収束性判定法
定理 1.47 (比較判定法) 数列,
を考える. それぞれの級数の有限部分和を
(113)
とする.,
がある正の整数
に対して
(114)
を満たすとき以下が成り立つ:
- (a)
が収束するとき,
も収束する.
- (a)
が発散するとき,
も発散する.
例 1.48 (比較判定法の具体例) 数列,
を考える. このとき
を満たす. また,級数
は収束する. よって定理より級数
もまた収束する.
例 1.49 (調和級数) 級数を 調和級数(harmonic series)という. 調和級数は発散する.
(証明)調和級数
(115)
の各項を括り直して
(116)
と考える.ここでは
(117) (118) (119) (120)
であり,
(121)
とおいている.を満たす
をさがす.
に関して不等式
(122) (123)
が成り立つので,とおけば
を得る. よって比較判定法より
(124)
を得る.以上証明終り.
定理 1.50 (ダランベールの判定法) 正項級数は, 極限
(125)
により,級数の収束性の判定ができる:
- (a)
のとき,
は収束する.
- (b)
のとき,
は発散する.
- (c)
のとき,
の収束性は判定できない.
例 1.51 (ダランベールの判定法の具体例) 級数
(126)
を考える.であるから,
は正項級数である. よって
(127)
が成り立つので,ダランベールの判定法より級数は収束する.
問 1.52 教科書(p.180)問題7-3.
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Created at 2002/09/12