双曲線関数

双曲線関数（hyperbolic function）とは

$$y =\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,$$ (167)

$$y =\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\,$$ (168)

$$y =\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\sinh x}{\cosh x}\,$$ (169)

により定義される関数である． 関数の読み方は上から hyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangent である．

注意 2.20 (三角関数と双曲線関数)   三角関数は複素関数を用いて次のようにも定義される．

$$\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ (170)

$$\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ (171)

$$\tan x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac{\sin x}{\cos x}$$ (172)

双曲線関数の定義との類似に注意せよ．

問 2.21 (双曲線関数の概形)   双曲線関数の概形を書け．

定理 2.22 (双曲線関数の性質)   双曲線関数は次の性質をもつ．

$$\sinh(-x) =-\sinh(x)\,$$ (173)

$$\cosh(-x) =\cosh(x)\,$$ (174)

$$\tanh(-x) =-\tanh(x)\,$$ (175)

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x=1\,$$ (176)

$$\sinh(x\pm y) =\sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\,$$ (177)

$$\cosh(x\pm y) =\cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\,$$ (178)

$$\tanh(x\pm y) =\frac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm \tanh x \tanh y}\,$$ (179)

問 2.23   この性質を証明せよ．

（証明）双曲線関数の定義をそのまま用いれば証明できる．

問 2.24 (双曲線関数の性質)   次の式を導け．

$$\cosh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x+1)$$ (180)

$$\sinh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x-1)$$ (181)

$$\sinh x\cosh x= \frac{1}{2}\sinh 2x$$ (182)

$$\tanh^2x=1-\frac{1}{\cosh^2x}$$ (183)

問 2.25 (円と双曲線)   円 $x^2+y^2=1$ をパラメータ表示すると

$$x(t) =\cos t\,,\quad y(t)=\sin t$$ (184)

と表わせる． 双曲線 $x^2-y^2=1$ をパラメータ表示するには

$$x(t) =\pm\cosh t\,,\quad y(t)=\sinh t$$ (185)

とおけばよい． これを示せ．

注意 2.26   双曲線関数に対して三角関数は円関数と呼ぶこともある．

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12