関数の極限

定義 2.29 (右極限，左極限)   変数 $x$ を右から $a$ に近づけたときの $f(x)$ の値を

$$\lim_{x\to a+0}f(x)$$ (198)

と書き，右極限（right-hand limit）と呼ぶ． 同様に，変数 $x$ を左から $a$ に近づけたときの値を

$$\lim_{x\to a-0}f(x)$$ (199)

と書き，左極限（left-hand limit）と呼ぶ．

定義 2.30 (関数の極限)   変数 $x$ を $a$ に近づけるとき， その近づけ方に依らず全て同じ極限となるとき， すなわち

$$\lim_{x\to a+0}f(x)= \lim_{x\to a-0}f(x)$$ (200)

が成り立つとき， そのときに限り $x\to a$ における関数 $f(x)$ の極限が存在し，

$$\lim_{x\to a}f(x)$$ (201)

と書く． 極限が存在するとき以下のように表現する：

$$x a$$

$$f(x) b$$ (202)

$$\Leftrightarrow \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=b}.$$ (203)

$$\Leftrightarrow f(x) \to b \quad (x\to a).$$ (204)

$$\Leftrightarrow f(x) x\to a b$$ (205)

例 2.31 (関数の極限の具体例)   関数 $f(x)=x^2$ を考える． このとき

$$\lim_{x\to2-0}f(x)=\lim_{x \to2+0}f(x)=4\,$$ (206)

となる． 右からの極限も左からの極限も存在し同じ値となる． よって

$$\lim_{x\to2}f(x)=4\,$$ (207)

である．

例 2.32 (関数の極限の具体例)   関数

$$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,$$ (208)

を考える． $x\to+0$ のとき $1/x\to+\infty$ である． $1/x\to+\infty$ であるから $f(x)$ は $1$ と $-1$ の間を振動する． よって右極限 $${\lim_{x \to +0}f(x)}$$は存在しない． $x\to-0$ のとき $1/x\to-\infty$ である． 以下同様で左極限 $${\lim_{x \to -0}f(x)}$$ は存在しない． 右極限も左極限も存在しないので， 極限 $${\lim_{x \to 0}f(x)}$$ は存在しない．

例 2.33 (関数の極限の具体例)   関数

$$f(x)=\frac{\vert x\vert}{x}\quad(x\ne0)$$ (209)

を考える． $x>0$ のとき $f(x)=x/x=1$ であるから 右極限は

$$\lim_{x\to+0}f(x)=1\,$$ (210)

となる． $x<0$ のとき $f(x)=(-x)/x=-1$ であるから 左極限は

$$\lim_{x\to-0}f(x)=-1\,$$ (211)

となる． 右極限と左極限が一致しないので， 極限 $${\lim_{x \to 0}f(x)}$$ は存在しない．

定理 2.34 (関数の極限に関する性質)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に関して極限

$$\lim_{x\to a}f(x)=A\,, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=B$$ (212)

が存在するならば，

$$\lim_{x\to a}\alpha f(x)=\alpha\lim_{x\to a}f(x)=\alpha A\,,$$ (213)

$$\lim_{x\to a}\left(f(x)+g(x)\right)= \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=A+B\,,$$ (214)

$$\lim_{x\to a}\left(\alpha f(x)+\beta g(x) \right)= \alpha \lim_{x\to a}f(x)+\beta \lim_{x\to a}g(x)= \alpha A+\beta B\,,$$ (215)

$$\lim_{x\to a}\left( f(x)g(x)\right)= \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)=AB\,,$$ (216)

$$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}} {\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)}}=\frac{A}{B}$$ (217)

が成り立つ． ただし，$\alpha$, $\beta$ は定数である．

例 2.35 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to2}\left(3x+5\right)= 3\lim_{x\to2}x+5=11\,.$$ (218)

$$\lim_{x\to2}(x+7)(x-3)= \lim_{x\to2}(x+7)\times\lim_{x\to2}(x-3)=9\times(-1)=-9 \,.$$ (219)

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2+2}= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2-1)}} {\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2+2)}}= \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\,.$$ (220)

変数 $x$ の値が正で限りなく大きくなるとき $x\to+\infty$ と書く． 変数 $x$ の値が負で限りなく小さくなるとき $x\to-\infty$ と書く． また， 変数 $f(x)$ の値が正で限りなく大きくなるとき $f(x)\to+\infty$ と書く． 変数 $f(x)$ の値が負で限りなく小さくなるとき $f(x)\to-\infty$ と書く．

例 2.36 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\,.$$ (221)

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0\,.$$ (222)

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}\sin x=0\,.$$ (223)

$$\lim_{x\to+\infty}e^{ax}=0\quad(a<0)\,, \lim_{x\to+\infty}e^{ax}=\infty\quad(a>0)\,,$$ (224)

$$\lim_{x\to-\infty}e^{ax}=\infty\quad(a<0)\,, \lim_{x\to-\infty}e^{ax}=0\quad(a>0)\,.$$ (225)

$$\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=\infty\,, \lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty\,,$$ (226)

$$\lim_{x\to a}\frac{1}{x-a} .$$ (227)

$$\lim_{x\to a\pm0}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,, \lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,.$$ (228)

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1\,.$$ (229)

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{x-2/x}{1+1/x}=\infty\,.$$ (230)

公式 2.37 (ネピア数)  

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\,$$ (231)

公式 2.38  

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\,$$ (232)

問 2.39   教科書（p.31）問題 2-3.

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12