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連続と不連続
定義 2.40 (関数の連続性) 次の条件を満たすとき,関数 は点 において 連続(continuous)であるという.連続ではない場合は不連続(discontinuous)であるいう.
- (1)
- が定義されている.
- (2)
- が存在する.
すなわち と が存在し,それらの値が等しい.- (3)
- が成立する.
すなわち が 成立する.
例 2.41 (連続な点の具体例) は において連続である. なぜなら が 成り立つからである.
例 2.42 (不連続な点の具体例) は において不連続である. なぜなら は定義されていない. さらには となるからである.
例 2.43 (不連続点の除去の具体例) は において 不連続である.なぜなら が定義されていないからである. しかし を
(233)
と定義すると は において連続となる. なぜなら が 成立するからである. 再定義することにより不連続な点 は取り除かれた.
例 2.44 (不連続点を除去できない具体例) は点 において不連続である. 点 における値を と定義することにする. うまく を定めることにより不連続点は取り除くことができるであろうか. , であるので, 点 の左右で極限がことなる.よってどのように を定めても 不連続な点を取り除くことはできない.
例 2.45 (不連続点の除去の具体例) を考える. は点 において不連続である. しかし は分子分母が等しいので, となる点において である.よって となる. ゆえに点 の値を と定義すれば不連続点は取り除かれる. 結局,点 はみかけ上の不連続点であり本質的な不連続点ではない.
問 2.46 教科書(p.36)問題 2-5.
Kondo Koichi
Created at 2002/09/12