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連続と不連続
定義 2.40 (関数の連続性) 次の条件を満たすとき,関数は点
において 連続(continuous)であるという.
連続ではない場合は不連続(discontinuous)であるいう.
- (1)
が定義されている.
- (2)
が存在する.
すなわちと
が存在し,それらの値が等しい.
- (3)
が成立する.
すなわちが 成立する.
例 2.41 (連続な点の具体例)は
において連続である. なぜなら
が 成り立つからである.
例 2.42 (不連続な点の具体例)は
において不連続である. なぜなら
は定義されていない. さらには
となるからである.
例 2.43 (不連続点の除去の具体例)は
において 不連続である.なぜなら
が定義されていないからである. しかし
を
(233)
と定義するとは
において連続となる. なぜなら
が 成立するからである. 再定義することにより不連続な点
は取り除かれた.
例 2.44 (不連続点を除去できない具体例)は点
において不連続である. 点
における値を
と定義することにする. うまく
を定めることにより不連続点は取り除くことができるであろうか.
,
であるので, 点
の左右で極限がことなる.よってどのように
を定めても 不連続な点を取り除くことはできない.
例 2.45 (不連続点の除去の具体例)を考える.
は点
において不連続である. しかし
は分子分母が等しいので,
となる点において
である.よって
となる. ゆえに点
の値を
と定義すれば不連続点は取り除かれる. 結局,点
はみかけ上の不連続点であり本質的な不連続点ではない.
問 2.46 教科書(p.36)問題 2-5.
Kondo Koichi
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Created at 2002/09/12