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巾級数
定義 4.1 (巾級数) 定数 と 変数 を考える. このとき級数
(410)
を巾級数(power series)と呼ぶ. 同様に級数
(411)
を の巾級数と呼ぶ.
定義 4.2 (収束半径) 巾級数 は のとき収束し, のとき発散する. 定数 を収束半径(radius of convergence)と呼ぶ.
例 4.3 (収束半径の具体例) 巾級数
(412)
は のとき収束する(公比が の等比級数であるから). よって収束半径は である.巾級数
(413)
は任意の有限の実数 に対して収束する(前述の例題参照). すなわち において収束する. このとき収束半径は と表わす.
定理 4.4 (収束半径の計算法) 巾級数 を考える. 極限
(414)
が存在するとき, 巾級数 の収束半径は である.
(証明) 級数 と その絶対級数 を 考える. このとき
(415)
であるので, が収束するとき も収束する. とおくと, であるから は正項級数となる. ゆえにダランベールの収束判定法より, 級数 は
(416)
のとき収束する. よって
(417) (418)
となる. これより
(419)
を得る. 以上より収束半径は
(420)
と求まる.
例 4.5 (収束半径の計算例) 巾級数
(421)
の収束半径を求める. であるから,収束半径は
(422)
と求まる. 巾級数 は のとき収束し, のとき発散する.巾級数
(423)
の収束半径を求める. であるから,収束半径は
(424)
と求まる.収束半径は である. 巾級数 は任意の実数 に対して収束する.巾級数
(425)
の収束半径を求める. であるから, 収束半径は
(426)
と求まる. 巾級数 は のとき収束し, のとき発散する.
問 4.6 教科書(p.191)問題7-5 1.
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Created at 2002/09/12