巾級数

Next: テイラー級数 Up: テイラー級数 Previous: テイラー級数 Contents

巾級数

定義 4.1 (巾級数) 定数 $c_{0},c_{1},c_{2},\cdots,c_{n},\cdots$ と変数を考える．このとき級数

$\displaystyle c_{0}+c_{1}\,x+c_{2}\,x^{2}+\cdots+c_{n}\,x^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}$

(410)

を巾級数（power series）と呼ぶ．同様に級数

$\displaystyle c_{0}+c_{1}\,(x-a)+c_{2}\,(x-a)^{2}+\cdots+c_{n}\,(x-a)^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^{n}$

(411)

をの巾級数と呼ぶ．

定義 4.2 (収束半径) 巾級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$ は $\vert x-a\vert<r$ のとき収束し， $\vert x-a\vert>r$ のとき発散する．定数を収束半径（radius of convergence）と呼ぶ．

例 4.3 (収束半径の具体例) 巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots$

(412)

は $\vert x\vert<1$ のとき収束する（公比がの等比級数であるから）．よって収束半径はである．

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

(413)

は任意の有限の実数に対して収束する（前述の例題参照）．すなわち $\vert x\vert<\infty$ において収束する．このとき収束半径は $r=\infty$ と表わす．

定理 4.4 (収束半径の計算法) 巾級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$ を考える．極限

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$

(414)

が存在するとき，巾級数 $\sum c_{n}(x-a)^{n}$ の収束半径はである．

（証明）級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$ とその絶対級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert}$ を考える．このとき

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n \leq \sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert$

(415)

であるので， $\sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ が収束するとき $\sum c_{n}(x-a)^n$ も収束する． $\sum a_{n}=\sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ とおくと， $a_{n}=\vert c_{n}(x-a)\vert^n\geq0$ であるから $\sum a_{n}$ は正項級数となる．ゆえにダランベールの収束判定法より，級数 $\sum a_{n}$ は

$\displaystyle \lim_{n\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$

(416)

のとき収束する．よって

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$	$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \frac{\left\vert c_{n+1}(x-a)^{n+1}\right\ver... ...frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert \frac{\vert x-a\vert^{n+1}}{\vert x-a\vert^{n}}$	(417)
	$\displaystyle = \vert x-a\vert\lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert<1$	(418)

となる．これより

$\displaystyle \vert x-a\vert< \frac{1}{\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left\ve... ..._{n}}\right\vert}}= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$

(419)

を得る．以上より収束半径は

$\displaystyle r$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$

(420)

と求まる．

例 4.5 (収束半径の計算例) 巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$

(421)

の収束半径を求める． $c_{n}=1$ であるから，収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{1}{1}\right\vert=1$

(422)

と求まる．巾級数 $\sum x^n$ は $\vert x\vert<r=1$ のとき収束し， $\vert x\vert>r=1$ のとき発散する．

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$

(423)

の収束半径を求める． $c_{n}=1/n!$ であるから，収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l... ...\to\infty}\left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty$

(424)

と求まる．収束半径は $r=\infty$ である．巾級数 $\sum x^n/n!$ は任意の実数に対して収束する．

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+ \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\cdots$

(425)

の収束半径を求める． $c_{n}=(-1)^{n-1}/n$ であるから，収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l... ...}\frac{n+1}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$

(426)

と求まる．巾級数 $\sum (-1)^{n-1}x^n/n$ は $\vert x\vert<r=1$ のとき収束し， $\vert x\vert>r=1$ のとき発散する．

問 4.6 教科書（p.191）問題7-5 1.

Next: テイラー級数 Up: テイラー級数 Previous: テイラー級数 Contents

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12