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巾級数
は
についての関数である.
これを
とおく.
数列
が一つ与えられると
関数
が一つ定まる.
すなわち
数列: 関数:![$\displaystyle \,\,f(x)\quad(\vert x-a\vert<r)$](img975.png) |
(429) |
との対応関係がある.
それでは関数
が一つ与えられたとき,
巾級数
の係数である
は
どのような値に定まるであろうか.
すなわち,問題として対応関係
関数: 数列:![$\displaystyle \,\,\{c_{n}\}=\,?$](img977.png) |
(430) |
を考える.
定理 4.7 (テイラー級数)
関数
![$ f(x)$](img316.png)
が
![$ \infty$](img70.png)
回微分可能なとき,
が成り立つ.
ただし点
![$ x=a$](img527.png)
は定義内のある点とする.
この巾級数を関数
![$ f(x)$](img316.png)
に関する
![$ x=a$](img527.png)
まわりの
テイラー級数(Taylor series)と呼ぶ.
特に
![$ a=0$](img981.png)
のときは,
マクローリン級数(Maclaurin series)と呼ぶ.
注意 4.8 (テイラー級数の収束半径)
テイラー級数は巾級数
![$ \sum c_{n}(x-a)^n$](img947.png)
を
![$\displaystyle c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$](img982.png) |
(434) |
とおいたものである.
よってテイラー級数の収束半径は
![$\displaystyle r$](img955.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...rt= \lim_{n\to\infty} \left\vert(n+1)\frac{f^{(n)}(a)}{f^{(n+1)}(a)}\right\vert$](img983.png) |
(435) |
により求まる.
問 4.10
これを示せ.
収束半径も求めよ.
(答え)
(1)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$](img994.png) |
(436) |
となる.
点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$](img995.png) |
(437) |
である.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}...
...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$](img996.png) |
(438) |
と求まる.
巾級数
![$ \sum c_{n}(x-a)^n$](img947.png)
の
収束半径
![$ r$](img118.png)
を求める.
係数は
![$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{n!}$](img997.png) |
(439) |
であるから,
収束半径として
![$\displaystyle r$](img955.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$](img998.png) |
(440) |
を得る.
(2)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$](img1000.png) |
(441) |
である.一般的に書くと
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img846.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \...
...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$](img1001.png) |
(442) |
である.点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1002.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$](img1003.png) |
(443) |
と求まる.
これを用いてテーラー級数を求めると
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$](img1004.png) |
(444) |
|
![$\displaystyle \qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$](img1005.png) |
(445) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^...
...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$](img1006.png) |
(446) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$](img1007.png) |
(447) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$](img1008.png) |
(448) |
|
![$\displaystyle \qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$](img1009.png) |
(449) |
|
![$\displaystyle = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$](img1010.png) |
(450) |
|
![$\displaystyle \qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$](img1011.png) |
(451) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$](img1012.png) |
(452) |
を得る.
収束半径を求める.
![$\displaystyle c_{n}$](img1013.png) |
![$\displaystyle =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$](img1014.png) |
(453) |
とおくと
が得られる.
(4)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$](img1018.png) |
(456) |
となる.一般的には
![$ n\geq1$](img1019.png)
に対して
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img846.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$](img1020.png) |
(457) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1002.png) |
![$\displaystyle = (-1)^{n-1}(n-1)!$](img1021.png) |
(458) |
となる.
よってテーラー級数は
と得られる.
収束半径
![$ r$](img118.png)
を求める.
![$\displaystyle c_{n}$](img1013.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$](img1024.png) |
(461) |
とおくと,
![$\displaystyle r$](img955.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ...
...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$](img1025.png) |
(462) |
と得られる.
(5)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$](img1027.png) |
(463) |
である.
一般的には
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img846.png) |
![$\displaystyle = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$](img1028.png) |
(464) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1002.png) |
![$\displaystyle =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$](img1029.png) |
(465) |
と得られる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$](img1030.png) |
(466) |
となる.
収束半径
![$ r$](img118.png)
は
![$ c_{n}=1$](img958.png)
とおくと
![$\displaystyle r$](img955.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$](img1031.png) |
(467) |
と得られる.
(6)
とおく.
導関数を計算すると
である.
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数の場合と,
それ以外の場合に分けて考える.
まず
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数以外の実数のときを考える.
導関数は
と表わされる.
点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1002.png) |
![$\displaystyle =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$](img1038.png) |
(472) |
となる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$](img1039.png) |
(473) |
と求まる.
収束半径
![$ r$](img118.png)
は
![$\displaystyle c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$](img1040.png) |
(474) |
とおくと,
と得られる.
次に
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数のときを考える.
導関数は
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img846.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$](img1043.png) |
(477) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img540.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1002.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$](img1044.png) |
(478) |
と求まる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$](img1045.png) |
(479) |
と得られる.
この展開式は有限項の和であり,有限次数の多項式である.
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数のときのテーラー展開は
二項展開となる.
展開式は多項式であり任意の実数
![$ x$](img20.png)
に対して成立する.
よって
![$ \vert x\vert<\infty$](img940.png)
であり,収束半径は
![$ r=\infty$](img941.png)
となる.
問 4.11
教科書(p.191)問題 7-5 2, 3.
定義 4.12 (階乗の拡張)
![$ \alpha$](img88.png)
を実数とする.このとき
![$ \alpha!$](img1046.png)
を
![$\displaystyle \alpha!$](img1047.png) |
![$\displaystyle =\alpha(\alpha-1)!\,,\quad 0!=1$](img1048.png) |
(480) |
と定義する.
例 4.13 (階乗の具体例)
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数
![$ n$](img40.png)
のとき
![$\displaystyle \alpha!$](img1047.png) |
![$\displaystyle =n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$](img1049.png) |
(481) |
である.
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数ではないとき
![$\displaystyle \alpha!$](img1047.png) |
![$\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots= \prod_{n=0}^{\infty}(\alpha-n)$](img1050.png) |
(482) |
となり無限積で表わされる.
例えば
![$ \alpha=1/2$](img1051.png)
のときは
となる.
定義 4.14 (二項係数の拡張)
実数
![$ \alpha$](img88.png)
, 自然数
![$ n$](img40.png)
に対して
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$](img1055.png) |
![$\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)} {n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}\,$](img1056.png) |
(485) |
と定義する.
例 4.15 (二項係数の具体例)
![$ \alpha$](img88.png)
が自然数
![$ m$](img199.png)
のときは
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$](img1055.png) |
![$\displaystyle = \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}= \frac{m!}{(m-n)!n!}$](img1057.png) |
(486) |
であり通常の二項係数と等しい.
![$ \alpha=1/2$](img1051.png)
,
![$ n=3$](img1058.png)
のとき
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}$](img1059.png) |
![$\displaystyle = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}-1\right) \left...
...eft(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1}{16}$](img1060.png) |
(487) |
となる.
![$ \alpha=-2$](img1061.png)
,
![$ n=3$](img1058.png)
のとき
![$\displaystyle \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$](img1062.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-2)(-3)(-4)}{3\cdot2\cdot1}=-4$](img1063.png) |
(488) |
となる.
注意 4.16 (三角関数と指数関数)
三角関数と指数関数は
![$\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$](img1064.png) |
(489) |
の関係にある.
ここで
![$ e^{\pm ix}$](img1065.png)
は複素指数関数である.
複素指数関数は複素数
![$ z=x+iy$](img1066.png)
に対して
![$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$](img1067.png) |
(490) |
と定義される.
右辺は複素巾級数である.
この定義より関係式が自然に導出される.
このとき
![$ x=0$](img540.png)
とし
![$ z=iy$](img1068.png)
とおく.
すると
![$\displaystyle e^{iy}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!}$](img1069.png) |
![$\displaystyle = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2}+i^3\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$](img1070.png) |
(491) |
|
![$\displaystyle = 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}{5!} -\frac{y^6}{6!}+ \cdots$](img1071.png) |
(492) |
|
![$\displaystyle = \left( 1 -\frac{y^2}{2} +\frac{y^4}{4!} -\frac{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$](img1072.png) |
(493) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img1073.png) |
(494) |
|
![$\displaystyle =\cos y+i\sin y$](img1074.png) |
(495) |
を得る.
同様に
![$ z=-iy$](img1075.png)
とおくと
![$\displaystyle e^{-iy}$](img1076.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}$](img1077.png) |
(496) |
|
![$\displaystyle = 1+i(-y)+i^2\frac{(-y)^2}{2}+i^3\frac{(-y)^3}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$](img1078.png) |
(497) |
|
![$\displaystyle = 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$](img1079.png) |
(498) |
|
![$\displaystyle = \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$](img1080.png) |
(499) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img1081.png) |
(500) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img1082.png) |
(501) |
|
![$\displaystyle =\cos y-i\sin y$](img1083.png) |
(502) |
を得る.
これより最初の関係式を得る.
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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12