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テイラー級数

巾級数 $ \sum c_{n}\,(x-a)^n$ は $ x$ についての関数である． これを

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^n \qquad (\vert x-a\vert<r)$ (427)
  $\displaystyle = c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+\cdots+ c_{n}(x-a)^{n}+\cdots$ (428)

とおく． 数列 $ \{c_{n}\}$ が一つ与えられると 関数 $ f(x)$ が一つ定まる． すなわち

数列：$\displaystyle \,\,\{c_{n}\} \quad\to$   関数：$\displaystyle \,\,f(x)\quad(\vert x-a\vert<r)$ (429)

との対応関係がある． それでは関数 $ f(x)$ が一つ与えられたとき， 巾級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$ の係数である $ \{c_{n}\}$ は どのような値に定まるであろうか． すなわち，問題として対応関係

関数：$\displaystyle \,\,f(x) \quad\to$   数列：$\displaystyle \,\,\{c_{n}\}=\,?$ (430)

を考える．

定理 4.7 (テイラー級数)   関数 $ f(x)$ が $ \infty$ 回微分可能なとき，

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+$ (431)
  $\displaystyle \qquad\qquad\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$ (432)
  $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n}\qquad (\vert x-a\vert<r)$ (433)

が成り立つ． ただし点 $ x=a$ は定義内のある点とする． この巾級数を関数 $ f(x)$ に関する $ x=a$ まわりの テイラー級数（Taylor series）と呼ぶ． 特に $ a=0$ のときは， マクローリン級数（Maclaurin series）と呼ぶ．

注意 4.8 (テイラー級数の収束半径)   テイラー級数は巾級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$ を

$\displaystyle c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ (434)

とおいたものである． よってテイラー級数の収束半径は

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...rt= \lim_{n\to\infty} \left\vert(n+1)\frac{f^{(n)}(a)}{f^{(n+1)}(a)}\right\vert$ (435)

により求まる．

例 4.9 (テイラー級数の具体例)   基本的な関数のテイラー級数を次に列挙する．
(1)
$ \displaystyle{e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \qquad (\vert x\vert<\infty)}$
(2)
$ \displaystyle{\sin x= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}= x... ...\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \qquad (\vert x\vert<\infty)}$
(3)
$ \displaystyle{\cos x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac... ...}{4!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \qquad (\vert x\vert<\infty)}$
(4)
$ \displaystyle{\log(1+x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}= x-\frac... ...\frac{x^3}{3}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\cdots \qquad (\vert x\vert<1)}$
(5)
$ \displaystyle{\frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \qquad (\vert x\vert<1)}$
(6)
$ \alpha$ を自然数以外の実数とする．
$ \displaystyle{(1+x)^{\alpha}= \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}}$
             $ \displaystyle{=1+ \alpha\,x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+ \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots \qquad (\vert x\vert<1)}$
$ \alpha$ を自然数とする．
$ \displaystyle{ (1+x)^{\alpha}= \sum_{n=0}^{\alpha} \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}}$
             $ \displaystyle{=1+\alpha\,x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\cdots+ \frac{\alp... ...{2}x^{\alpha-2}+ \alpha\,x^{\alpha-1}+ x^{\alpha} \qquad (\vert x\vert<\infty)}$

問 4.10   これを示せ． 収束半径も求めよ．


（答え） (1) $ f(x)=e^{x}$ とおく． 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$ (436)

となる． 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$ (437)

である． よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}... ...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ (438)

と求まる． 巾級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$ の 収束半径 $ r$ を求める． 係数は

$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{n!}$ (439)

であるから， 収束半径として

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$ (440)

を得る．

(2) $ f(x)=\sin x$ とおく． 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$ (441)

である．一般的に書くと

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \... ...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$ (442)

である．点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$ (443)

と求まる． これを用いてテーラー級数を求めると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ (444)
  $\displaystyle \qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$ (445)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^... ...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$ (446)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$ (447)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$ (448)
  $\displaystyle \qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$ (449)
  $\displaystyle = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$ (450)
  $\displaystyle \qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$ (451)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$ (452)

を得る． 収束半径を求める．

$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$ (453)

とおくと

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ... \frac{(2n+1)!}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$ (454)
  $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} (2n+1)(2n) = \lim_{n\to\infty} (4n^2+2n) =\infty$ (455)

が得られる．

(4) $ f(x)=\log(1+x)$ とおく． 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$ (456)

となる．一般的には $ n\geq1$ に対して

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ (457)

と表わされる． 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = (-1)^{n-1}(n-1)!$ (458)

となる． よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ (459)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}$ (460)

と得られる． 収束半径 $ r$ を求める．

$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ (461)

とおくと，

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$ (462)

と得られる．

(5) $ f(x)=1/(1-x)$ とおく． 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$ (463)

である． 一般的には

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$ (464)

と表わされる． 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$ (465)

と得られる． よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ (466)

となる． 収束半径 $ r$ は $ c_{n}=1$ とおくと

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$ (467)

と得られる．

(6) $ f(x)=(1+x)^{\alpha}$ とおく． 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =(1+x)^{\alpha}\,,\quad f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}\,,\quad f''(x)=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}\,,\quad$ (468)
$\displaystyle f'''(x)$ $\displaystyle =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3}\,,\quad \cdots$ (469)

である． $ \alpha$ が自然数の場合と， それ以外の場合に分けて考える． まず $ \alpha$ が自然数以外の実数のときを考える． 導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1) (1+x)^{\alpha-n}$ (470)
  $\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}$ (471)

と表わされる． 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$ (472)

となる． よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$ (473)

と求まる． 収束半径 $ r$ は

$\displaystyle c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$ (474)

とおくと，

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...ert\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!} \frac{(\alpha-n-1)!(n+1)!}{\alpha!}\right\vert$ (475)
  $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{n+1}{\alpha-n}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{1+1/n}{\alpha/n-1}\right\vert=1$ (476)

と得られる． 次に $ \alpha$ が自然数のときを考える． 導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$ (477)

と表わされる． 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$ (478)

と求まる． よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$ (479)

と得られる． この展開式は有限項の和であり，有限次数の多項式である． $ \alpha$ が自然数のときのテーラー展開は 二項展開となる． 展開式は多項式であり任意の実数 $ x$ に対して成立する． よって $ \vert x\vert<\infty$ であり，収束半径は $ r=\infty$ となる．

問 4.11   教科書（p.191）問題 7-5 2, 3.

定義 4.12 (階乗の拡張)   $ \alpha$ を実数とする．このとき $ \alpha!$ を

$\displaystyle \alpha!$ $\displaystyle =\alpha(\alpha-1)!\,,\quad 0!=1$ (480)

と定義する．

例 4.13 (階乗の具体例)   $ \alpha$ が自然数 $ n$ のとき

$\displaystyle \alpha!$ $\displaystyle =n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$ (481)

である．$ \alpha$ が自然数ではないとき

$\displaystyle \alpha!$ $\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots= \prod_{n=0}^{\infty}(\alpha-n)$ (482)

となり無限積で表わされる． 例えば $ \alpha=1/2$ のときは

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-1\right) \left(\frac{1}{2}-2\righ... ...ft(\frac{1}{2}-3\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}-n\right)$ (483)
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right) \left(-\frac{5}{2}\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\frac{-2n+1}{2}$ (484)

となる．

定義 4.14 (二項係数の拡張)   実数 $ \alpha$, 自然数 $ n$ に対して

$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)} {n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}\,$ (485)

と定義する．

例 4.15 (二項係数の具体例)   $ \alpha$ が自然数 $ m$ のときは

$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}= \frac{m!}{(m-n)!n!}$ (486)

であり通常の二項係数と等しい． $ \alpha=1/2$, $ n=3$ のとき

$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}-1\right) \left... ...eft(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1}{16}$ (487)

となる． $ \alpha=-2$, $ n=3$ のとき

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \frac{(-2)(-3)(-4)}{3\cdot2\cdot1}=-4$ (488)

となる．

注意 4.16 (三角関数と指数関数)   三角関数と指数関数は

$\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$ (489)

の関係にある． ここで $ e^{\pm ix}$ は複素指数関数である． 複素指数関数は複素数 $ z=x+iy$ に対して

$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$ (490)

と定義される． 右辺は複素巾級数である． この定義より関係式が自然に導出される． このとき $ x=0$ とし $ z=iy$ とおく． すると

$\displaystyle e^{iy}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!}$ $\displaystyle = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2}+i^3\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$ (491)
  $\displaystyle = 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}{5!} -\frac{y^6}{6!}+ \cdots$ (492)
  $\displaystyle = \left( 1 -\frac{y^2}{2} +\frac{y^4}{4!} -\frac{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$ (493)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$ (494)
  $\displaystyle =\cos y+i\sin y$ (495)

を得る． 同様に $ z=-iy$ とおくと

$\displaystyle e^{-iy}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}$ (496)
  $\displaystyle = 1+i(-y)+i^2\frac{(-y)^2}{2}+i^3\frac{(-y)^3}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$ (497)
  $\displaystyle = 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$ (498)
  $\displaystyle = \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$ (499)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$ (500)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$ (501)
  $\displaystyle =\cos y-i\sin y$ (502)

を得る． これより最初の関係式を得る．

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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12