広義積分

定義 5.14 (不連続点を含む区間での広義積分)   $x=a$ で不連続

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a+\epsilon}^{b}f(x)\,dx$$ (720)

$x=b$ で不連続

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon}f(x)\,dx$$ (721)

$x=c$ $(a<c<b)$ で不連続

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon_1\to+0} \int_{a+\epsilon_1}^{b}f(x)\,dx + \lim_{\epsilon_2\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx$$ (722)

定理 5.15   $p>0$

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (0<p<1) \\ [1em] +\infty & (p\geq1) \end{array}\right.$$ (723)

定義 5.16 (無限区間での広義積分)  

$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$ (724)

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$ (725)

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$ (726)

定理 5.17   $p>0$

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{cc} +\infty & (0<p\leq1) \\ [1em] \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (p>1) \end{array}\right.$$ (727)

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12