行列の演算に関する緒性質

定理 1.1 (行列の演算の性質)   行列の演算に関して次の性質が成り立つ：

(1)

$A+B=B+A$         （加法の交換則）

(2)

$A+O=A$, $O+A=A$          （加法の零元） $O$ は数の足し算の 0 と同様な振る舞い

(3)

$(A+B)+C=A+(B+C)$         （加法の結合則）

(4)

$AE=A$, $EA=A$         （乗法の単位元） $E$ は数の掛け算の $1$ と同様な振る舞い

(5)

$AO=O$, $OA=O$         （乗法の零元） $O$ は数の掛け算の 0 と同様な振る舞い

(6)

$(AB)C=A(BC)$         （乗法の結合則）

(7)

$A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$         （分配則）

(8)

$0A=O$, $1A=A$

(9)

$(ab)A=a(bA)$, $(aA)B=a(AB)$

(10)

$a(A+B)=aA+aB$, $(a+b)A=aA+bA$

(11)

$\,{}^{t}(A+B)=\,{}^{t}A+\,{}^{t}B$

(12)

$\,{}^{t}(AB)=\,{}^{t}B\,{}^{t}A$

ただし，$A,B,C$ の型は互いに演算が定義されている型とする．

問 1.5 (行列の演算の性質)  

性質(1)-(12)を示せ．

（証明）(1), (4), (11), (12) を示す．残りは自習．

(1) $A+B=B+A$ を示す．まず $A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ とおく． このとき $A+B$ は和の定義より

$$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$$ (53)

となる．次に $B+A$ を求める．和の定義より

$$B+A=[b_{ij}+a_{ij}]_{m\times n}$$ (54)

となる．各要素 $b_{ij}+a_{ij}$ は単に数なので， 和について可換である． よってすべての要素の和の順番を入れ換えて，

$$B+A=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$$ (55)

となる．以上より $A+B=B+A$ が示された．

(4) $AE=A$ を示す．まず $A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $E=[\delta_{ij}]_{n\times n}$ とおく． さらに $C=AE=[c_{ij}]_{m\times n}$ とおく． $c_{ij}$ を計算する． 積の定義とクロネッカーのデルタの定義に従って計算すると

$$c_{ij} =AE=[a_{ij}][\delta_{ij}]= \sum_{k}^{n}a_{ik}\delta_{kj}$$ (56)

$$= a_{i1}\delta_{1j}+ a_{i2}\delta_{2j}+ a_{i3}\delta_{3j}+ \cdots+ a_{ij}\delta_{jj}+ \cdots+ a_{in}\delta_{nj}$$ (57)

$$= a_{i1}\times 0+ a_{i2}\times 0+ a_{i3}\times 0+ \cdots+ a_{ij}\times 1+ \cdots+ a_{in}\times 0$$ (58)

$$= a_{ij}$$ (59)

を得る．これより $c_{ij}=a_{ij}$ が成り立つ． よって $C=A$ を得る． 以上より $AE=A$ が示された． $EA=A$ の場合も同様に示す．

(11) $\,{}^{t}(A+B)=\,{}^{t}A+\,{}^{t}B$ を示す． まず， $A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ とおく． 和の定義より

$$A+B=[a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times n} =[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$$ (60)

となる．転置の操作は行と列を入れ換えるので

$$\,{}^{t}(A+B)=\,{}^{t}([a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}) =[a_{ji}+b_{ji}]_{n\times m}$$ (61)

となる．右辺の行列を二つの行列の和に分解し， それぞれの行列の転置をとると

$$\,{}^{t}(A+B)=[a_{ji}]_{n\times m}+[b_{ji}]_{n\times m}= \,{}^{t}([a_{ij}]_{m\times n})+\,{}^{t}([b_{ij}]_{m\times n})= \,{}^{t}A+\,{}^{t}B$$ (62)

を得る． 以上で示された．

(12) $\,{}^{t}(AB)=\,{}^{t}B\,{}^{t}A$ を示す．まず

$$A =[a_{ij}]_{m\times n}\,,\quad B=[b_{ij}]_{n\times r}\,,\quad \,{}^{t}A=[\tilde{a}_{ij}]_{n\times m}\,,\quad \,{}^{t}B=[\tilde{b}_{ij}]_{r\times n}$$ (63)

とおく． 次に

$$C =AB=[c_{ij}]_{m\times r}\,,\quad \,{}^{t}C=\,{}^{t}(AB)=[\tilde{c}_{ij}]_{r\times m}\,,\quad D=\,{}^{t}B\,{}^{t}A=[d_{ij}]_{r\times m}$$ (64)

とおく． まず $c_{ij}$, $d_{ij}$ を求める． 積の定義より

$$c_{ij} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\,,\quad d_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\tilde{b}_{ik}\tilde{a}_{kj}$$ (65)

となる． $\tilde{c}_{ij}=c_{ji}$, $\tilde{a}_{ij}=a_{ji}$, $\tilde{b}_{ij}=b_{ji}$ を用いれば

$$\tilde{c}_{ij}=c_{ji}= \sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}= \sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}= \sum_{k=1}^{n}\tilde{b}_{ik}\tilde{a}_{kj}=d_{ij}$$ (66)

を得る．以上より $\,{}^{t}(AB)=\,{}^{t}C=[\tilde{c}_{ij}]_{r\times m}= [d_{ij}]_{r\times n}=D=\,{}^{t}B\,{}^{t}A$ となる． 証明終了．

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22