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連立一次方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrll} 2x & \!+\! & 3y & = & 7 \\ [.5ex] x & \!-\! & 4y & = & 9 \end{array}\right.$](img257.png) |
(120) |
を考える.
行列を用いて書き直すと等価な方程式として
![$\displaystyle \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 \\ 9 \end{bmatrix}$](img258.png) |
(121) |
を得る.
一般に変数
個,方程式
本の連立一次方程式は
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n...
...\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\right.$](img259.png) |
(122) |
と表される.これを行列で書き直すと,
![$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{2...
...} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$](img260.png) |
(123) |
となる.
行列をそれぞれ文字で置き換えて
![$\displaystyle A\,\vec{x}=\vec{b}\,,\qquad A=[a_{ij}]_{m\times n}\,,\qquad \vec{x}=[x_{j}]_{n\times1}\,,\qquad \vec{b}=[b_{i}]_{m\times1}\,$](img261.png) |
(124) |
と表される.
行列により表現された方程式と
元の連立一次方程式は等価な方程式である.
定義 2.1 (係数行列)
連立一次方程式
![$ A\vec{x}=\vec{b}$](img262.png)
の
係数をまとめた行列
![$\displaystyle A$](img3.png) |
![$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_...
...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$](img263.png) |
(125) |
を
係数行列(coefficient matrix)と呼ぶ.
行列
![$ A$](img5.png)
と
![$ \vec{b}$](img57.png)
を部分行列としてまとめた行列
![$\displaystyle [A\vert\vec{b}]$](img264.png) |
![$\displaystyle = \left[\begin{array}{cccc\vert c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{...
...\vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right]$](img265.png) |
(126) |
のことを
拡大係数行列(enlarged coefficient matrix)と呼ぶ.
例 2.1 (連立一次方程式の行列表現の具体例)
連立一次方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} 3x_{1} & -2x_{2} & +x_{3} & +x_{4} & ...
... & -3x_{3} & +x_{4} & =5 \\ 2x_{1} & -x_{2} & +9x_{3} & & =0 \end{array}\right.$](img266.png) |
(127) |
の係数行列と拡大係数行列は
![$\displaystyle A$](img3.png) |
![$\displaystyle = \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 9 &...
...ix}3 & -2 & 1 & 4 & 7 \\ 1 & 0 & -3 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$](img267.png) |
(128) |
である.行列を用いて方程式を書き直すと
![$\displaystyle \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 9 & 0...
...x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}$](img268.png) |
(129) |
と表される.
問 2.1
教科書(p.18)問題1.4 1.-2.
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Kondo Koichi
Created at 2002/07/22