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? 2.1 (任意定数を含む解って何?)
方程式
![$ x_{1}+x_{2}=0$](img358.png)
の解を考えよう.
この方程式の解はどのように表現したらよいだろうか.
まずは具体的にいくつか解を書き下してみよう.
解は方程式に代入して成り立てばよいから,
![$\displaystyle x_{1}$](img359.png) |
![$\displaystyle =1\,,\quad x_{2}=-1\,,$](img360.png) |
(179) |
![$\displaystyle x_{1}$](img359.png) |
![$\displaystyle =2\,,\quad x_{2}=-2\,,$](img361.png) |
(180) |
![$\displaystyle x_{1}$](img359.png) |
![$\displaystyle =3\,,\quad x_{2}=-3\,,$](img362.png) |
(181) |
![$\displaystyle x_{1}$](img359.png) |
![$\displaystyle =4\,,\quad x_{2}=-4\,,$](img363.png) |
(182) |
|
![$\displaystyle \quad\,\vdots$](img364.png) |
(183) |
は解となるのがすぐ分かる.
この解から
![$ x_{1}$](img283.png)
は任意の値で良さそうである.
これを
![$ c$](img365.png)
としよう.
![$ x_{1}=c$](img366.png)
とおけば
![$ c_{2}=-c$](img367.png)
である.
よって解として
![$\displaystyle \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c \\ -c \end{bmatrix}\, \qquad (\forall c\in\mathbb{R})$](img368.png) |
(184) |
を得る.確にこれが解となっているかは,
方程式
![$ x_{1}+c_{2}=0$](img369.png)
に代入すればよい.
この解は任意定数を含む解である.
変数の個数は
![$ 2$](img70.png)
個であり,
方程式の本数が
![$ 1$](img24.png)
本であるので,
任意定数の個数は
![$ 2-1=1$](img370.png)
個となる.
次に方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ [.5ex] x_{3}+x_{4}=0 \end{array}\right.$](img371.png) |
(185) |
を考えよう.第一式は先ほどの方程式と同じである.
であるから第一式を満たす解として
![$ (x_{1},x_{2})=(c,-c)$](img372.png)
を得る.
第二式も第一式と同じ形をしており,
変数名が違うだけである.
よって解は
![$ (x_{3},x_{4})=(c,-c)$](img373.png)
である.
しかし第一式と第二式とは独立しているので,
任意定数も独立してとりうる.
これを
![$ x_{1}=c_{1}$](img374.png)
,
![$ x_{3}=c_{2}$](img375.png)
としよう.
よって解として
![$\displaystyle \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \b...
...2} \\ -c_{2} \end{bmatrix}\, \qquad (\forall c_{1}, \forall c_{2}\in\mathbb{R})$](img376.png) |
(186) |
を得る.
変数が
![$ 4$](img377.png)
個,方程式が
![$ 2$](img70.png)
本,
任意定数が
![$ 4-2=2$](img378.png)
個である.
? 2.2 (簡約化って何?)
方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & +x_{4} & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \end{array}\right.$](img379.png) |
(187) |
を考えよう.第一式から第二式を引くと,
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & & & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \end{array}\right.$](img380.png) |
(188) |
を得る.
第一式から変数が
![$ 2$](img70.png)
個減っている.
このとき係数行列は
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad\to\qquad \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$](img381.png) |
(189) |
のように変形される.
右の行列は簡約な行列となっている.
次に方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x_{1} & +\,4x_{2} & =2 \\ [.5ex] x_{1} & +\,2x_{2} & =3 \end{array}\right.$](img382.png) |
(190) |
を考えよう.
方程式と係数行列の変化をみよう:
|
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x_{1} & +\,4x_{2} & =2 \\ [.5ex] x_{1}...
...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$](img383.png) |
(191) |
|
![$\displaystyle \to \left\{\begin{array}{ccc} 0 & -\,2x_{2} & =-7 \\ [.5ex] x_{1}...
... \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 0 & -2 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$](img384.png) |
(192) |
|
![$\displaystyle \to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & +\,2x_{2} & =3 \\ [.5ex] & ...
... \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -7 \end{array}\right]$](img385.png) |
(193) |
|
![$\displaystyle \to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & 0 & =-4 \\ [.5ex] & -2x_{2}...
...\to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{array}\right]$](img386.png) |
(194) |
|
![$\displaystyle \to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & & =-4 \\ [.5ex] & x_{2} & =...
...\to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 7/2 \end{array}\right]$](img387.png) |
(195) |
このように基本変形により変数が減って行く.
この手順によりうまく変数を減らすことができる.
ある行列が与えられたとき,
その行列に対して簡約な行列は一意に定まる.
つまり与えられた方程式に対して常に
うまい変数の減らし方が存在することを意味する.
? 2.3 (ランクっ何?)
方程式
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +\,x_{2} & +\,x_{3} & +\,x_{4...
... & =0 \\ [.5ex] 2x_{1} &+\,2x_{2} & +\,3x_{3}& +\,3x_{4}& =0 \end{array}\right.$](img388.png) |
(196) |
を考えよう.
変数が
![$ 4$](img377.png)
個,方程式が
![$ 3$](img72.png)
本であるから
任意定数は
![$ 4-3=1$](img389.png)
個であろう.
しかし本当にそうであろうか.
まずは方程式に基本変形をほどこしてみよう:
このように方程式は本質的に
![$ 2$](img70.png)
本である.
よって変数が
![$ 2$](img70.png)
個,方程式が
![$ 2$](img70.png)
本,
任意定数が
![$ 4-2=2$](img378.png)
個となる.
これを係数行列でみてみよう:
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \e...
...to \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$](img392.png) |
(200) |
最後の簡約化された行列に着目する.
行列のランクは
![$ 2$](img70.png)
である.
つまり係数行列のランクは,
方程式は本質的には何本であるかを示している.
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Kondo Koichi
Created at 2002/07/22