行列の基本変形

定理 2.9 (行列の積による行列の行の基本変形)   行列 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ が与えられたとき， 次に定義される行列 $P^{(\nu)}\ (\nu=1,2,3)$ を左から掛けて， 積 $P^{(\nu)}A$ を考える． このとき $P^{(\nu)}A$ は行列の行の第 $\nu$ 基本変形を $A$ にほどこした行列と等しい．

(1)

第 $k$ 行を $\alpha$ 倍する．

$$P^{(1)}_{k}(\alpha) = \underset{k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c\vert ccc} \!1\! & ... ...[-.5ex] & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & \!1\! \end{array}\right]} k$$ (202)

(2)

第 $k$ 行と第 $l$ 行を入れ替える．

$$P^{(2)}_{k,l} = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}$$ (203)

(3)

第 $l$ 行を $\alpha$ 倍して第 $k$ 行に加える．

$$P^{(3)}_{k,l}(\alpha) = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(k<l)$$ (204)

$$P^{(3)}_{k,l}(\alpha) = \underset{l\qquad\qquad\,\,\,k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(l<k)$$ (205)

問 2.6   これを示せ．

例 2.15 (行列の行の基本変形の具体例)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$ (206)

を考える． このとき $A$ にいろいろな基本変形を行なうと次のようになる．

$$P^{(1)}_{1}(\alpha)A = \begin{bmatrix}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...n{bmatrix}\alpha & 2\alpha & 3\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 1 \alpha$$ (207)

$$P^{(1)}_{2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4\alpha & 5\alpha & 6\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 2 \alpha$$ (208)

$$P^{(1)}_{3}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{bm... ...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7\alpha & 8\alpha & 9\alpha \end{bmatrix}\,. 3 \alpha$$ (209)

$$P^{(2)}_{1,2}A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 1 2$$ (210)

$$P^{(2)}_{1,3}A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\,. 1 3$$ (211)

$$P^{(2)}_{2,3}A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\,. 2 3$$ (212)

$$P^{(3)}_{1,2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...ix}1+4\alpha & 2+5\alpha & 3+6\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$$ (213)

$$2 \alpha 1$$ (214)

$$P^{(3)}_{3,2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \end{bm... ...ix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7+4\alpha & 8+5\alpha & 9+6\alpha \end{bmatrix}\,.$$ (215)

$$2 \alpha 3$$ (216)

$$P^{(3)}_{2,1}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...rix}1 & 2 & 3 \\ 4+\alpha & 5+2\alpha & 6+3\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$$ (217)

$$1 \alpha 2$$ (218)

例 2.16 (上三角化，対角化)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$ (219)

に左から行列 $P$ をかけて上三角行列

$$U = \begin{bmatrix}1 & u_{12} & u_{13} \\ 0 & 1 & u_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (220)

に変換する． すなわち $U=PA$ をみたす行列 $P$ を求める． 次に $A$ に左から行列 $Q$ をかけて 単位行列

$$E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (221)

に変換する． すなわち $E=QA$ をみたす行列 $Q$ を求める．

まず $P$ を求める． $A$ に左から行列 $A^{\nu}$($\nu=1,2,3$) をかけて 基本変形を行なう．

$$PA=U\,, \qquad P=P^{(*)}P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)} E$$ (222)

$$QA=E\,, \qquad Q=P^{(*)}P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)} E$$ (223)

問 2.7 (下三角化)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$ (224)

に左から $P$ をかけて 下三角行列

$$L = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix}$$ (225)

に変換せよ． すなわち $L=PA$ を満たす行列 $P$ を求めよ．

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22