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逆行列
定義 2.9 (逆行列) 行列に対して
(226)
を満たす行列が存在するとき, 行列
を行列
の逆行列(inverse matrix)と呼ぶ.
の逆行列は
と表記する.
問 2.8 逆行列をもつのは正方行列のみである. これを示せ.
(証明)を満たす行列は可換な行列である. 可換な行列は正方行列のみである.
定理 2.10 (逆行列の一意性) 行列が逆行列をもつとき,逆行列は一意に定まる.
(証明)と
が
の逆行列であると仮定する. このとき
,
が成り立つ. これを用いて
(227)
となる.よってであり
と
とは一致する.
定義 2.10 (行列の正則性) 正方行列が逆行列をもつとき,
は正則(regular)であるという. 正則な行列を正則行列(regular matrix)と呼ぶ.
定理 2.11 (逆行列をもつ十分条件) 正方行列,
が
または
の どちらか一方だけを満たすときでも
は
の逆行列となる.
(証明) 証明はずっとあとに行なう.
定理 2.12 (逆行列の計算法) 行列を簡約化して
の形に変形できたとする. このとき
は
の逆行列
となる.
(証明) 行列
に基本変形を繰り返し行ない単位行列
に変換されたとする. このとき
(228)
と書ける.の左にかかっている行列をまとめて
と書くと,
(229)
となる. このを用いれば
が成り立つ. 前述の定理より
のとき
は
の逆行列
となる. よって行列
を求めればよい.
は
(230)
と書ける. これはすなわちに行なった基本変形と同じ操作を
に 対して行なうことを意味する. これらの操作を同時に行なうには, 行列
を考えて
の形に簡約化すればよい. この一連の操作により
を得る.
例 2.17 (逆行列の計算例)
(231)
(232)
定理 2.13 (行列の正則性と緒性質) 正方行列に対して次の(1)-(5) は同値である:
- (1)
.
- (2)
の簡約化は
である.
- (3)
は任意の
に対して唯一つの解をもつ.
- (4)
は自明な解
のみをもつ.
- (5)
は正則である.
定理 2.14 正方行列が正則なとき方程式
は 解
をもつ.
例 2.18 (逆行列をもたない具体例)
(233)
となるので
は正則ではない. よって
は逆行列をもたない.
例 2.19 (逆行列を用いた解法の具体例)
(234)
とすると
より 解が求まる.
(235)
定理 2.15 (逆行列の性質) 正方行列,
が正則のとき次の関係式が成り立つ.
- (1)
.
- (2)
.
- (3)
.
問 2.9 これを示せ.
(証明) (3) を示す.
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Created at 2002/07/22