逆行列

定義 2.9 (逆行列)   行列 $A$ に対して

$$AB=BA=E$$ (226)

を満たす行列 $B$ が存在するとき， 行列 $B$ を行列 $A$ の逆行列（inverse matrix）と呼ぶ． $A$ の逆行列は $A^{-1}$ と表記する．

問 2.8   逆行列をもつのは正方行列のみである． これを示せ．

（証明） $AB=BA$ を満たす行列は可換な行列である． 可換な行列は正方行列のみである．

定理 2.10 (逆行列の一意性)   行列 $A$ が逆行列をもつとき，逆行列は一意に定まる．

（証明） $B$ と $C$ が $A$ の逆行列であると仮定する． このとき $AB=BA=E$, $AC=CA=E$ が成り立つ． これを用いて

$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$ (227)

となる．よって $B=C$ であり $B$ と $C$ とは一致する．

定義 2.10 (行列の正則性)   正方行列 $A$ が逆行列をもつとき， $A$ は正則（regular）であるという． 正則な行列を正則行列（regular matrix）と呼ぶ．

定理 2.11 (逆行列をもつ十分条件)   正方行列 $A$, $B$ が $AB=E$ または $BA=E$ の どちらか一方だけを満たすときでも $B$ は $A$ の逆行列となる．

（証明） 証明はずっとあとに行なう．

定理 2.12 (逆行列の計算法)   行列 $[A\vert E]$ を簡約化して $[E\vert B]$ の形に変形できたとする． このとき $B$ は $A$ の逆行列 $A^{-1}$ となる．

（証明） 行列 $A$ に基本変形を繰り返し行ない単位行列 $E$ に変換されたとする． このとき

$$P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)}A=E$$ (228)

と書ける． $A$ の左にかかっている行列をまとめて $B$ と書くと，

$$B=P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)}$$ (229)

となる． この $B$ を用いれば $BA=E$ が成り立つ． 前述の定理より $BA=E$ のとき $B$ は $A$ の逆行列 $B=A^{-1}$ となる． よって行列 $B$ を求めればよい． $B$ は

$$B=P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)}E$$ (230)

と書ける． これはすなわち $A$ に行なった基本変形と同じ操作を $E$ に 対して行なうことを意味する． これらの操作を同時に行なうには， 行列 $[A\vert E]$ を考えて $[E\vert B]$ の形に簡約化すればよい． この一連の操作により $BA=E$ を得る．

例 2.17 (逆行列の計算例)  

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$ (231)

$$A^{-1} = \begin{bmatrix}-4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (232)

定理 2.13 (行列の正則性と緒性質)   正方行列 $A$ に対して次の(1)-(5) は同値である：

(1)

$\mathrm{rank}\,(A)=n$.

(2)

$A$ の簡約化は $E$ である．

(3)

$A\vec{x}=\vec{b}$ は任意の $\vec{b}$ に対して唯一つの解をもつ．

(4)

$A\vec{x}=\vec{0}$ は自明な解 $\vec{x}=\vec{0}$ のみをもつ．

(5)

$A$ は正則である．

定理 2.14   正方行列 $A$ が正則なとき方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は 解 $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ をもつ．

例 2.18 (逆行列をもたない具体例)  

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (233)

$\mathrm{rank}\,(A)=2<3$ となるので $A$ は正則ではない． よって $A$ は逆行列をもたない．

例 2.19 (逆行列を用いた解法の具体例)  

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} ... ...x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ (234)

$A\vec{x}=\vec{b}$ とすると $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ より 解が求まる．

$$\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmat... ...in{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}$$ (235)

定理 2.15 (逆行列の性質)   正方行列 $A$, $B$ が正則のとき次の関係式が成り立つ．

(1)

$(A^{-1})^{-1}=A$.

(2)

$(\,{}^{t}A)^{-1}=\,{}^{t}(A^{-1})$.

(3)

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.

問 2.9   これを示せ．

（証明） (3) を示す．

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22