行列のいろいろ

定義 1.2 (零行列)   成分が全て零の行列

$$O =O_{m,n}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ & \cdots & & & 0 \\ 0 & \cdots & & & 0 \end{bmatrix}\,$$ (5)

を零行列（zero matrix）と呼ぶ． $O_{m,n}$ は $m\times n$ 型の零行列を意味する．

定義 1.3 (正方行列)   行と列の数が等しい行列

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_... ...& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,$$ (6)

を正方行列（square matrix）と呼ぶ． 行列の成分のうち左上から右下へ並んでいる成分 $a_{11}$, $a_{22}$, $\cdots$, $a_{nn}$ を 対角成分（diagonal components）と呼ぶ．

定義 1.4 (対角行列)   対角成分以外の成分が全て零の正方行列

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hu... ... & & \\ & & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & & a_{nn} \end{bmatrix}\,$$ (7)

を対角行列（diagonal matrix）と呼ぶ．

定義 1.5 (単位行列)   対角成分がすべて $1$ の対角行列

$$E =E_{n}=I=I_{n}= \begin{bmatrix}1 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\t... ...}}}\\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & 1 \end{bmatrix}\,$$ (8)

を単位行列（unit matrix）と呼ぶ． $n\times n$ の単位行列を $E_{n}$ と書き $n$ 次の単位行列と呼ぶ． 単位行列は後述するように行列の積において ``$1$'' の役割をはたす．

定義 1.6 (スカラー行列)   対角成分の値がすべて等しい対角行列を スカラー行列（scalar matrix）と呼ぶ．

例 1.1 (スカラー行列の具体例)  

$$\begin{bmatrix}2 & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\huge$0$}}}\\ ... ...-1 & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & -1 \\ \end{bmatrix}\,,\qquad E\,,\qquad O\,.$$ (9)

定義 1.7 (上三角行列)   対角成分を除く左下半分がすべて 0 の正方行列

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 ... ...\ddots & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix}$$ (10)

を上三角行列（upper triangular matrix）と呼ぶ．

定義 1.8 (下三角行列)   対角成分を除く右上半分がすべて 0 の正方行列

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\... ...\\ \vdots & & & \ddots & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ (11)

を下三角行列（lower triangular matrix）と呼ぶ．

定義 1.9 (転置行列)   行と列の成分を入れ換えた行列

$$\,{}^{t}A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{m1} \\ a_... ...& \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\,$$ (12)

を転置行列（transposed matrix）と呼ぶ． 行と列を入れ換える演算を転置（transpose）をとるという． 転置された行列を $\,{}^{t}A$ と書く．また $A^T$ と書くこともある．

例 1.2 (転置の具体例)  

$$A = \begin{bmatrix}1 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 2 \end{bmatrix}\,,\qquad \,{}^{t}A= \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 3 & 5 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}\,.$$ (13)

問 1.1   $\,{}^{t}(\,{}^{t}A)=A$ を示せ．

（証明） $A=[a_{ij}]$, $\,{}^{t}A=[b_{ij}]$ とおく． 行と列を入れ換えるので $\,{}^{t}A$ は $\,{}^{t}A=[a_{ji}]$ とも書ける． つまり $b_{ij}=a_{ji}$ となる． 転置をとる操作を成分でみると， 行と列の添字を入れ換える操作に対応する． よって

$$\,{}^{t}(\,{}^{t}A) = \,{}^{t}(\,{}^{t}[a_{ij}])= \,{}^{t}([a_{ji}])= [a_{ij}]=A$$ (14)

となる．証明終了．

定義 1.10 (対称行列)   $\,{}^{t}A=A$ を満たす行列を 対称行列（symmetric matrix）と呼ぶ．

例 1.3 (対称行列の具体例)  

$$A = \begin{bmatrix}1 & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 5 \\ 6 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$ (15)

問 1.2 (対称行列の一般的な表現)   対称行列は正方行列で一般に

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_... ...& \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,$$ (16)

と表わされる． これを示せ．

定義 1.11 (歪対称行列)   $\,{}^{t}A=-A$ を満たす行列を 歪対称行列（skew symmetric matrix） または， 交代行列（alternative matrix） と呼ぶ．

例 1.4 (歪対称行列の具体例)  

$$A = \begin{bmatrix}0 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$$ (17)

問 1.3 (対称行列の一般的な表現)   歪対称行列は正方行列で一般に

$$A = \begin{bmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ -a_{12}... ...s & & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} &-a_{2n} &-a_{3n} & \cdots & 0 \end{bmatrix}\,$$ (18)

と表わされる． これを示せ．

問 1.4   教科書（p.5）問題 1.1.

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22