12 級数

級数（series）とは数列 $\{a_{n}\}$ の和である． 式では

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots$$ (74)

$$=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum a_{n}$$ (75)

と書き表す． 加法（足し算）は有限回の演算においてのみ定義されているので， 式（）は形式的な和である． 厳密に級数を定義するには次のように考える． まず第 $n$ 項までの有限和

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$ (76)

を考える． これを第 $n$ 部分和（the $n$-th partial sum）と呼ぶ． $S_{n}$ に関する数列

$$\{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$$ (77)

を考える． 数列 $\{S_{n}\}$ の極限

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$$ (78)

が存在したとする． このとき級数 $\sum a_{n}$ は存在し， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$$ (79)

で与えられると定義する． 極限 $S$ が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束すると呼ぶ． 極限 $S$ が存在しない場合は級数 $\sum a_{n}$ は発散すると呼ぶ．

定義 1.41 (級数)   数列 $\{a_{n}\}$ の和 $\sum a_{n}$ を級数（series）と呼び， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$$ (80)

で定義する． この極限が存在するとき 級数 $\sum a_{n}$ は収束する（convergent）といい， 収束しない場合を 級数 $\sum a_{n}$ は発散する（divergent）という．

定理 1.42 (級数の収束)   $\sum a_{n}$, $\sum b_{n}$ が収束するとき， $\sum (\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})$ もまた収束する． ただし $\alpha$, $\beta$ は定数とする． このとき

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})= \alpha \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ \beta \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$$ (81)

が成り立つ．

注意 1.43 (順番の入れ替え)   定理 は級数が収束するときに限り， 各項を足し合わせる順番を入れ替えてもよいことを意味する． 発散する場合は足し算の順番を入れ替えることはできない．

例 1.44 (無限級数の結合則)   数列 $a_{n}=(-1)^{n-1}$ の 級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}}$$ を考える． すなわち

$$S =1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$$ (82)

である． 足し算の順を入れ替えると

$$S =(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$ (83)

$$=0+0+0+0+\cdots=0$$ (84)

となる．また別の順で足し合わせると

$$S =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$ (85)

$$=1+0+0+0+\cdots=1$$ (86)

となる． これらは矛盾する． どこが誤りであろうか？ 有限の項の和の常識は無限の項の和には通用しない． この場合の間違いは足し算の順を変えたことである． この例では結合則が成り立たない． 定義 に従えば級数 $S$ は発散である．

例 1.45 (等比級数)   等比数列 $\{a_{n}=a\,r^{n-1}\}$ の無限和を 等比級数（geometrical progression series）と呼び，

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1}$$ (87)

と書き表す． 等比級数は

$$S=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{a}{1-r}} & (\vert r\vert< 1) \\ [1em] \text{発散} & (\vert r\vert\ge 1) \end{array} \right.$$ (88)

となる．

（証明） 第 $n$ 部分和

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$ (89)

を考える． $r=1$ のとき，

$$S_{n}=a(1+1+\cdots+1)=a\,n$$ (90)

となる． つぎに $r\neq 1$ のとき，等式

$$1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$ (91)

を用いると $S_{n}$ は

$$S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$$ (92)

と書ける． 以上より

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle... ...& (-1<r<1)\\ [2ex] \displaystyle{\text{不確定}} & (r\leq-1) \end{array} \right.$$ (93)

となる． ただし無限大の符号は $a$ の符号 $\mathrm{sgn}\,(a)=a/\vert a\vert$ で決まる． 証明終り．

問 1.46 (1を根にもつ多項式の因数分解)   次の等式を示せ．

$$1-r^{n}=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})\,.$$ (94)

注意 1.47 (初項が異なる級数)   級数が

$$S=\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}$$ (95)

と定義されるときの値を考える． 部分和は

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a\,r^{n}= a(1+r+r^2+\cdots+r^{n})= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$ (96)

となるから， 結局級数は

$$S= \lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r... ...(\vert r\vert<1) \\ [1ex] \text{発散} & (\vert r\vert\geq1) \end{array} \right.$$ (97)

と得られる．

注意 1.48 (等比級数の有理式表現)   $\vert r\vert<1$ のとき

$$\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots$$ (98)

とな． この式は $1$ を $1-r$ で割ることでも導出される． すなわち，

$$\frac{1}{1-r} =1+\frac{r}{1-r}$$ (99)

$$=1+r+\frac{r^2}{1-r}$$ (100)

$$=1+r+r^2+\frac{r^3}{1-r}$$ (101)

$$=1+r+r^2+r^3+\frac{r^4}{1-r}$$ (102)

$$=1+r+r^2+r^3+\cdots$$ (103)

のように低次項を主項として割り算を無限回続ける．

例 1.49 (等比級数の具体例)  

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots$$ (104)

$$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots\right)$$ (105)

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$ (106)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\,.$$ (107)

または

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}= \frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ (108)

$$= \frac{1}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$$ (109)

$$= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}= 1-\frac{1}{2^n}$$ (110)

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1$$ (111)

例 1.50 (等比級数の具体例)  

$$S= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n} = 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots$$ (112)

$$=a(1+r+r^2+r^3+\cdots)$$ (113)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$ (114)

または

$$S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3^k}= 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ (115)

$$= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}$$ (116)

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}$$ (117)

例 1.51 (等比級数の具体例)  

$$0.9999\cdots = 1\,.$$ (118)

（証明）

$$0.999\cdots =9\times(0.111\cdots) =9\times\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$$ (119)

$$=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots\right)$$ (120)

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$ (121)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1\,.$$ (122)

問 1.52   参考書（p.172）問題7-1.

問 1.53 (級数の計算)  

$$(1)\quad\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (2)\quad\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (3)\quad\sum_{n=2}^{\infty}a\,r^{n}$$ (123)

$$(4)\quad \sum_{n=0}^{\infty} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n} \right\}$$ (124)

$$(5)\quad \sum_{n=3}^{\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{4\cdot 5^n}$$ (125)

$$(6)\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}$$ (126)

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29