12 級数

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12 級数

級数（series）とは数列 $\{a_{n}\}$ の和である．式では

	$\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots$	(74)
	$\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum a_{n}$	(75)

と書き表す．加法（足し算）は有限回の演算においてのみ定義されているので，式（

）は形式的な和である．厳密に級数を定義するには次のように考える．まず第項までの有限和

$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$

(76)

を考える．これを第部分和（the -th partial sum）と呼ぶ． $S_{n}$ に関する数列

$\displaystyle \{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$

(77)

を考える．数列 $\{S_{n}\}$ の極限

$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$

(78)

が存在したとする．このとき級数 $\sum a_{n}$ は存在し，その値は

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$

(79)

で与えられると定義する．極限が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束すると呼ぶ．極限が存在しない場合は級数 $\sum a_{n}$ は発散すると呼ぶ．

定義 1.41 (級数) 数列 $\{a_{n}\}$ の和 $\sum a_{n}$ を級数（series）と呼び，その値は

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$

(80)

で定義する．この極限が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束する（convergent）といい，収束しない場合を級数 $\sum a_{n}$ は発散する（divergent）という．

定理 1.42 (級数の収束) $\sum a_{n}$ , $\sum b_{n}$ が収束するとき， $\sum (\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})$ もまた収束する．ただし $\alpha$ , $\beta$ は定数とする．このとき

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})= \alpha \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ \beta \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$

(81)

が成り立つ．

注意 1.43 (順番の入れ替え) 定理

は級数が収束するときに限り，各項を足し合わせる順番を入れ替えてもよいことを意味する．発散する場合は足し算の順番を入れ替えることはできない．

例 1.44 (無限級数の結合則) 数列 $a_{n}=(-1)^{n-1}$ の級数 $\displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}}$ を考える．すなわち

$\displaystyle S$

$\displaystyle =1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$

(82)

である．足し算の順を入れ替えると

$\displaystyle S$	$\displaystyle =(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$	(83)
	$\displaystyle =0+0+0+0+\cdots=0$	(84)

となる．また別の順で足し合わせると

$\displaystyle S$	$\displaystyle =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$	(85)
	$\displaystyle =1+0+0+0+\cdots=1$	(86)

となる．これらは矛盾する．どこが誤りであろうか？有限の項の和の常識は無限の項の和には通用しない．この場合の間違いは足し算の順を変えたことである．この例では結合則が成り立たない．定義

に従えば級数は発散である．

例 1.45 (等比級数) 等比数列 $\{a_{n}=a\,r^{n-1}\}$ の無限和を 等比級数（geometrical progression series）と呼び，

$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1}$

(87)

と書き表す．等比級数は

$\displaystyle S=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{a}{1-r}} & (\vert r\vert< 1) \\ [1em] \text{発散} & (\vert r\vert\ge 1) \end{array} \right.$

(88)

となる．

（証明）第部分和

$\displaystyle S_{n}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$

(89)

を考える．のとき，

$\displaystyle S_{n}=a(1+1+\cdots+1)=a\,n$

(90)

となる．つぎに $r\neq 1$ のとき，等式

$\displaystyle 1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$

(91)

を用いると $S_{n}$ は

$\displaystyle S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$

(92)

と書ける．以上より

$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle... ...& (-1<r<1)\\ [2ex] \displaystyle{\text{不確定}} & (r\leq-1) \end{array} \right.$

(93)

となる．ただし無限大の符号はの符号 $\mathrm{sgn}\,(a)=a/\vert a\vert$ で決まる．証明終り．

問 1.46 (1を根にもつ多項式の因数分解) 次の等式を示せ．

$\displaystyle 1-r^{n}=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})\,.$

(94)

注意 1.47 (初項が異なる級数) 級数が

$\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}$

(95)

と定義されるときの値を考える．部分和は

$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a\,r^{n}= a(1+r+r^2+\cdots+r^{n})= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

(96)

となるから，結局級数は

$\displaystyle S= \lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r... ...(\vert r\vert<1) \\ [1ex] \text{発散} & (\vert r\vert\geq1) \end{array} \right.$

(97)

と得られる．

注意 1.48 (等比級数の有理式表現) $\vert r\vert<1$ のとき

$\displaystyle \frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots$

(98)

とな．この式はをで割ることでも導出される．すなわち，

$\displaystyle \frac{1}{1-r}$	$\displaystyle =1+\frac{r}{1-r}$	(99)
	$\displaystyle =1+r+\frac{r^2}{1-r}$	(100)
	$\displaystyle =1+r+r^2+\frac{r^3}{1-r}$	(101)
	$\displaystyle =1+r+r^2+r^3+\frac{r^4}{1-r}$	(102)
	$\displaystyle =1+r+r^2+r^3+\cdots$	(103)

のように低次項を主項として割り算を無限回続ける．

例 1.49 (等比級数の具体例)

$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots$	(104)
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots\right)$	(105)
	$\displaystyle =a(1+r+r^2+\cdots)$	(106)
	$\displaystyle =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\,.$	(107)

または

$\displaystyle S_{n}$	$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}= \frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^n$	(108)
	$\displaystyle = \frac{1}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$	(109)
	$\displaystyle = \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}= 1-\frac{1}{2^n}$	(110)

$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1$

(111)

例 1.50 (等比級数の具体例)

$\displaystyle S= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}$	$\displaystyle = 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots$	(112)
	$\displaystyle =a(1+r+r^2+r^3+\cdots)$	(113)
	$\displaystyle =\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$	(114)

または

$\displaystyle S_{n}$	$\displaystyle = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3^k}= 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{3}\right)^n$	(115)
	$\displaystyle = \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}$	(116)

$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}$

(117)

例 1.51 (等比級数の具体例)

$\displaystyle 0.9999\cdots = 1\,.$

(118)

（証明）

$\displaystyle 0.999\cdots$	$\displaystyle =9\times(0.111\cdots) =9\times\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$	(119)
	$\displaystyle =\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots\right)$	(120)
	$\displaystyle =a(1+r+r^2+\cdots)$	(121)
	$\displaystyle =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1\,.$	(122)

問 1.52 参考書（p.172）問題7-1.

問 1.53 (級数の計算)

	$\displaystyle (1)\quad\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (2)\quad\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (3)\quad\sum_{n=2}^{\infty}a\,r^{n}$	(123)
	$\displaystyle (4)\quad \sum_{n=0}^{\infty} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n} \right\}$	(124)
	$\displaystyle (5)\quad \sum_{n=3}^{\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{4\cdot 5^n}$	(125)
	$\displaystyle (6)\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}$	(126)

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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29