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14 関数の極限
定義 2.48 (右極限,左極限) 変数を右から
に近づけたときの
の値が
に近づくとき
(248)
と書き,右極限(right-hand limit)と呼ぶ. 同様に, 変数を左から
に近づけたときの
の値が
に近づくとき
(249)
と書き,左極限(left-hand limit)と呼ぶ.
定義 2.49 (関数の極限) 変数を
に近づけるとき, その近づけ方に依らず全て同じ極限となるとき, すなわち
(250)
が成り立つとき, そのときに限りにおける関数
の極限が存在し,
と書く. 極限が存在するとき次のように表現する:
が
に限りなく近づくとき,
関数 には極限が存在し,その極限値は
である.
(252) (253) (254) ![]()
は
において
に収束する.
(255)
例 2.50 (関数の極限の具体例) 関数を考える. このとき
(256)
となる. 右からの極限も左からの極限も存在し同じ値となる. よって
(257)
である.
例 2.51 (関数の極限の具体例) 関数
(258)
を考える.のとき
であるから 右極限は
(259)
となる.のとき
であるから 左極限は
(260)
となる. 右極限と左極限が一致しないので, 極限は存在しない.
例 2.52 (関数の極限の具体例) 関数
(261)
を考える.のとき
である.
であるから
は
と
の間を振動する. よって右極限
は存在しない.
のとき
である. 以下同様で左極限
は存在しない. 右極限も左極限も存在しないので, 極限
は存在しない.
定理 2.53 (関数の極限に関する性質) 関数,
に関して極限
(262)
が存在するならば,
(263) (264) (265) (266) (267)
が成り立つ. ただし,,
は定数である.
例 2.54 (関数の極限の計算例)
(268) (269) (270) 変数
の値が正で限りなく大きくなるとき
と書く. 変数
の値が負で限りなく小さくなるとき
と書く. また, 変数
の値が正で限りなく大きくなるとき
と書く. 変数
の値が負で限りなく小さくなるとき
と書く.
例 2.55 (関数の極限の計算例)
(271) (272) (273) (274) (275) (276) :存在ない
(277) (278) (279) (280)
公式 2.56 (ネピア数)
(281)
公式 2.57
(282)
問 2.58 参考書(p.31)問題 2-3.
問 2.59 (関数の極限の計算)
(283) (284) (285) (286) (287) (288) (289) (290) (291) (292) (293) (294) (295) (296) (297) (298) (299) (300) (301)
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Created at 2003/08/29