7 指数関数の微分

定理 3.22 (指数関数の微分)

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,a^{x}$	$\displaystyle =(\log a)\,a^{x}\,$	(393)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{x}$	$\displaystyle =e^{x}\,$	(394)

問 3.23 これを示せ．

（証明） $y=f(x)=a^{x}$ とおく．このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\log_{a}y= \frac{\log y}{\log a}\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\frac{\quad\displaystyle{\frac{1}{y}}\quad}{\log a}= \frac{1}{(\log a)y}$

(395)

である．これと逆関数の微分公式より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\qu... ...\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{(\log a)y}}\quad}= (\log a)y=(\log a)a^{x}$

(396)

を得る．