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9 逆三角関数の微分
定理 3.26 (逆三角関数の微分)
(417) (418) (419)
問 3.27 これを示せ.
(証明)
とおく. 主値を考えているので値域は
(420)
である. このときの逆関数とその微分は
(421)
である.ここでを
の関数で表すことを考える.
と
より
(422)
となる. 符号を片方のみ採用する.より
となるので, 上式の右辺も 0 以上でなければならない. よって
(423)
である.以上より
(424)
を得る.次に
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とおく. この逆関数とその微分は
(425)
である. 主値に注意して
を
の関数で表わすと
(426)
である.ここでを用いた. 以上より
(427)
を得る.最後に
を考える. この逆関数とその微分は
(428) (429)
となる.これより
(430)
を得る.
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Created at 2003/08/29