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定理 5.7 (置換積分法)
積分変数を
![$ x=\phi(t)$](img2467.png)
と変換すると
|
![$\displaystyle \int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$](img2468.png) |
(808) |
となる.
また逆に
|
![$\displaystyle \int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$](img2469.png) |
(809) |
と積分変数を
![$ t=\psi(x)$](img2470.png)
と置き換えて積分する.
この積分の方法を
置換積分法(integration by substitution)という.
(証明)関数
を
の原始関数とする.
変数
を
と変数変換する.
このとき
は
合成関数の微分則より
![$\displaystyle \frac{dF(\phi(t))}{dt}$](img2476.png) |
![$\displaystyle = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$](img2477.png) |
(810) |
となる.両辺を
![$ t$](img2478.png)
で積分すると
|
![$\displaystyle \int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$](img2479.png) |
(811) |
を得る.左辺は
![$\displaystyle \int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$](img2480.png) |
(812) |
であるから証明終了.
例 5.8 (置換積分の使用例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img2481.png) |
![$\displaystyle =\int(ax+b)^{m}\,dx$](img2482.png) |
(813) |
を計算する.まず
![$\displaystyle t$](img2483.png) |
![$\displaystyle =ax+b$](img2484.png) |
(814) |
と変数変換する.このとき両辺を
![$ x$](img2485.png)
で微分すると
![$\displaystyle \frac{dt}{dx}$](img2486.png) |
![$\displaystyle =a$](img2487.png) |
(815) |
であるので
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img2488.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$](img2489.png) |
(816) |
を得る.これより置換積分法を用いると不定積分は
![$\displaystyle I$](img2490.png) |
![$\displaystyle = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1...
... [3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=0) \end{array} \right.$](img2491.png) |
(817) |
となる.変数
![$ t$](img2492.png)
を
![$ x$](img2493.png)
に戻すと
![$\displaystyle I$](img2494.png) |
![$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m...
...ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=0) \end{array} \right.$](img2495.png) |
(818) |
を得る.
置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする.
次のように式変形を行なう:
![$\displaystyle I$](img2496.png) |
![$\displaystyle = \int (ax+b)^{m}\,dx= \frac{1}{a}\int (ax+b)^{m}(ax+b)'\,dx= \le...
...\displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.\,.$](img2497.png) |
(819) |
例 5.9 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img2498.png) |
![$\displaystyle = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$](img2499.png) |
(820) |
例 5.10 (置換積分の使用例)
![$\displaystyle I$](img2500.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1...
...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$](img2501.png) |
(821) |
これで不定積分は得られたが他の表現も考える.
逆双曲線関数は
![$\displaystyle \sinh^{-1}x$](img2502.png) |
![$\displaystyle = \log(x+\sqrt{x^2+1})$](img2503.png) |
(822) |
とも表される.これを用いると不定積分は
![$\displaystyle I$](img2504.png) |
![$\displaystyle =\log\left( \frac{x}{a}+ \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2+1} \right)+C$](img2505.png) |
(823) |
となる.またこれを変形すると
![$\displaystyle I$](img2506.png) |
![$\displaystyle =\log \frac{1}{a} \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C= \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C-\log a$](img2507.png) |
(824) |
となる.
![$ C$](img2508.png)
は任意の定数なので
![$ C-\log a$](img2509.png)
をあらためて
![$ C$](img2510.png)
と
おき直すと
![$\displaystyle I$](img2511.png) |
![$\displaystyle = \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$](img2512.png) |
(825) |
を得る.
以上得られた結果は
任意定数分の不定性を除けば全て同じ不定積分である.
注意 5.11 (不定積分の関数の表現)
不定積分は計算の方法により得られる結果が一見すると
違うときがある.
これは不定積分が任意定数の不定性をもつためである.
注意が必用である.
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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29