4 置換積分法

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4 置換積分法

定理 5.7 (置換積分法) 積分変数を $x=\phi(t)$ と変換すると

$\displaystyle \int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$

(808)

となる．また逆に

$\displaystyle \int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$

(809)

と積分変数を $t=\psi(x)$ と置き換えて積分する．この積分の方法を 置換積分法（integration by substitution）という．

（証明）関数をの原始関数とする．変数を $x=\phi(t)$ と変数変換する．このとき $\displaystyle{\frac{dF}{dt}}$ は合成関数の微分則より

$\displaystyle \frac{dF(\phi(t))}{dt}$

$\displaystyle = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$

(810)

となる．両辺をで積分すると

$\displaystyle \int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$

(811)

を得る．左辺は

$\displaystyle \int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$

(812)

であるから証明終了．

例 5.8 (置換積分の使用例) 不定積分

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int(ax+b)^{m}\,dx$

(813)

を計算する．まず

$\displaystyle t$

$\displaystyle =ax+b$

(814)

と変数変換する．このとき両辺をで微分すると

$\displaystyle \frac{dt}{dx}$

$\displaystyle =a$

(815)

であるので

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$

$\displaystyle =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$

(816)

を得る．これより置換積分法を用いると不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1... ... [3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=0) \end{array} \right.$

(817)

となる．変数をに戻すと

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m... ...ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=0) \end{array} \right.$

(818)

を得る．

置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする．次のように式変形を行なう：

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int (ax+b)^{m}\,dx= \frac{1}{a}\int (ax+b)^{m}(ax+b)'\,dx= \le... ...\displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.\,.$

(819)

例 5.9 (置換積分の使用例)

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$

(820)

例 5.10 (置換積分の使用例)

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1... ...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$