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5 部分積分法

定理 5.12 (部分積分法)  

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$ (826)

これを部分積分法(integration by parts)という.


(証明) 関数 $ f(x)g(x)$ を微分すると積の微分公式より

$\displaystyle (f(x)g(x))'$ $\displaystyle = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ (827)

を得る.これを両辺を $ x$ で積分すると

$\displaystyle f(x)g(x)= \int(f(x)g(x))'\,dx$ $\displaystyle = \int f'(x)g(x)\,dx+ \int f(x)g'(x)\,dx$ (828)

となる.移項すると証明終了.

例 5.13 (部分積分法の使用例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\log x\,dx= \int\log x(x)'\,dx= x\log x-\int(\log x)'x\,dx$ (829)
  $\displaystyle = x\log x-\int\frac{1}{x}x\,dx= x\log x-\int dx= x\log x-x+C\,.$ (830)

例 5.14 (部分積分法の使用例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int x\sin x\,dx= \int x(-\cos x)'\,dx= -x\cos x+\int (x)'\cos x\,dx$ (831)
  $\displaystyle = -x\cos x+\int\cos x\,dx= -x\cos x+\sin x+C\,.$ (832)



Kondo Koichi
Created at 2003/08/29