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6 有理関数の積分

有理関数

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \frac{a_{0}\,x^{N}+a_1\,x^{N-1}+\cdots+a_{N}} {b_{0}\,x^{M}+b_{1}\,x^{M-1}+\cdots+b_{M}}\, \qquad (N,M\in\mathbb{N})$ (833)

の不定積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int f(x)\,dx$ (834)

を考える. 任意の有理関数は積分可能である.


Step 1 (分子を分母で割る)     分子の次数 $ N$ が分母の次数 $ M$ 以上のときは まず割り算を行い,

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$   $ N-M$ 次の多項式$\displaystyle + \frac{\text{$M-1$\ 次以下の多項式}}{\text{$M$\ 次の多項式}}$ (835)

とする. このとき多項式の部分は必ず積分が可能である. よって以後では分子の次数 $ N$ は分母の次数 $ M$ より小さい($ N<M$)とする.

例 5.15 (分子の次数を分母の次数より小さくする)   分子の次数が分母の次数以上の場合はまず 分子を分母で割り,

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \frac{x^3+4x^2+2x+1}{x^2+3}= x+4-\frac{x-11}{x^2+3}$ (836)

のように変形する. この式に対して積分すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int (x+4)\,dx- \int\frac{x-11}{x^2+3}\,dx= \frac{x^2}{2}+4x- \int\frac{x-11}{x^2+3}\,dx$ (837)

となる. 多項式部分は積分される. 残るは有理式の積分である. 以後は $ N<M$ となる有理関数の積分のみを考える.


Step 2 (分母を因数分解する)     有理式を $ \displaystyle{f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}$ とする. 分母の多項式 $ q(x)$ を実数の範囲で因数分解する. このとき

$\displaystyle q(x)$ $\displaystyle = (x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots$ (838)

と表される. $ m_{j}$ は重複度である. 2次式の判別式は負である.

例 5.16 (分母の因数分解)  

$\displaystyle q(x)$ $\displaystyle =x^2+3\,,$ (839)
$\displaystyle q(x)$ $\displaystyle =x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\,,$ (840)
$\displaystyle q(x)$ $\displaystyle =x^3+x^2-2x= x(x-1)(x+2)\,.$ (841)


Step 3 (部分分数分解する)     有理式 $ \displaystyle{f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}$ を 部分分数分解する. すなわち

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\frac{p(x)}{q(x)}= \frac{p(x)} {(x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots}$ (842)
  $\displaystyle = \frac{A_{1,1}}{x+b_{1}}+ \frac{A_{1,2}}{(x+b_{1})^2}+\cdots+ \frac{A_{1,m_1}}{(x+b_{1})^{m_1}}$ (843)
  $\displaystyle \qquad+ \frac{A_{2,1}}{x+b_{2}}+ \frac{A_{2,2}}{(x+b_{2})^{2}}+\cdots+ \frac{A_{2,m_2}}{(x+b_{2})^{m_2}}+\cdots$ (844)
  $\displaystyle \qquad\cdots+ \frac{A_{i,1}\,x+B_{i,1}}{x^2+c_{i}\,x+d_{i}}+ \fra...
...)^{2}}+\cdots+ \frac{A_{i,m_i}\,x+B_{i,m_i}}{(x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_i}}+\cdots$ (845)

と変形する.

例 5.17 (部分分数展開の具体例)   部分分数分解として

$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$ $\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$ (846)

とする. 通分して同じ次数でまとめると

$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$ $\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(B+C-A)x+C}{x^3+1}$ (847)

となる.よって係数は

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (848)

を満足しなければならない. これを解くと

$\displaystyle A$ $\displaystyle =\frac{1}{3}\,,\qquad B=-\frac{1}{3}\,,\qquad C=\frac{2}{3}$ (849)

となる. よって部分分数分解は

$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$ $\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{1}{3(x+1)}- \frac{x-2}{3(x^2-x+1)}$ (850)

と表される.

問 5.18 (部分分数展開の計算例)   部分分数分解として

$\displaystyle \frac{1}{x^4-x^3+x+1}$ $\displaystyle = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+x+1}$ (851)

とする. 係数 $ A$, $ B$, $ C$, $ D$ を定めよ.

問 5.19 (部分分数展開の計算例)   部分分数分解として

$\displaystyle \frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+ \frac{D}{x+1}+ \frac{Ex+F}{x^2+1}+ \frac{Gx+H}{(x^2+1)^2}$ (852)

とする. 係数 $ A$, $ B$, $ C$, $ D$, $ E$, $ F$, $ G$, $ H$ を定めよ.

例 5.20 (部分分数展開の具体例)  

$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$ $\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(-A+B+C)\,x+(A+C)} {(x+1)(x^2-x+1)}$ (853)

より

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...n{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -11 \end{bmatrix}$ (854)

となり

$\displaystyle A$ $\displaystyle =-4\,,\qquad B=4\,,\qquad C=7$ (855)

を得る.よって

$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}$ $\displaystyle = \frac{-4}{x+1}+ \frac{4x+7}{x^2-x+1}$ (856)

となる.

例 5.21 (部分分数展開の具体例)  

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \frac{x+1}{x^3+x^2-2x}= \frac{x+1}{x(x-1)(x+2)}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}$ (857)
  $\displaystyle = \frac{(A+B+C)x^2+(A+2B-C)x-2A}{x(x-1)(x+2)}$ (858)

より

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (859)

である.解くと

$\displaystyle A$ $\displaystyle =-\frac{1}{2}\,,\quad B=\frac{2}{3}\,,\quad C=-\frac{1}{6}$ (860)

となる.よって

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}$ (861)

を得る.


Step 4 (部分分数ごとに積分する)     部分分数ごとに積分を行う. すなわち

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int f(x)\,dx$ (862)
  $\displaystyle = A_{1,1}\int\frac{dx}{x+b_{1}}+ A_{1,2}\int\frac{dx}{(x+b_{1})^{2}}+\cdots+ A_{1,m_1}\int\frac{dx}{(x+b_{1})^{m_1}}$ (863)
  $\displaystyle \quad+ A_{2,1}\int\frac{dx}{x+b_{2}}+ A_{2,2}\int\frac{dx}{(x+b_{2})^{2}}+\cdots+ A_{2,m_2}\int\frac{dx}{(x+b_{2})^{m_2}}+\cdots$ (864)
  $\displaystyle \qquad\cdots+ \int\frac{A_{i,1}\,x+B_{i,1}}{x^2+c_{i}\,x+d_{i}}\,...
...cdots+ \int\frac{A_{i,m_i}\,x+B_{i,m_i}}{(x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_i}}\,dx+\cdots$ (865)

を計算する. それぞれの場合ごとに積分を考える.

まず, 分母の因子が $ 1$ 次式の場合の積分を行なう. すると

$\displaystyle \int\frac{dx}{(x+b)^{m}}$ $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \log\vert x+b\vert+C & (m=1)\\ [2ex] \displaystyle{\frac{-1}{m-1}\frac{1}{(x+b)^{m-1}}+C} & (m\ge2) \end{array}\right.$ (866)

を得る.

次に, 分母の因子が $ 2$ 次式の場合の積分を行なう. $ 2$ 次式の判別式が負であることに注意すると

$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx = \int\frac{A\,x+B}{\left( \left(x+\frac{c}{2}\right)^2+ \left(d-\frac{c^2}{4}\right)\right)^m}\,dx$ (867)

と表される. ここで $ \displaystyle{-a=\frac{c}{2}}$, $ \displaystyle{b^2=d-\frac{c^2}{4}>0}$, $ b>0$ とおく. すると

$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx= \int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$ (868)

と表される.この形から積分を進める. さらに式変形すると

  $\displaystyle \int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \int \frac{A\,(x-a)+(aA+B)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$ (869)
  $\displaystyle \qquad= \frac{A}{2} \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx+ (aA+B) \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$ (870)
  $\displaystyle \qquad= \frac{A}{2}I_{m}+(aA+B)J_{m}$ (871)

となる. ここで

$\displaystyle I_{m}$ $\displaystyle = \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx\,, \qquad J_{m}= \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$ (872)

とおく. 第一項目の積分 $ I_{m}$

$\displaystyle I_{m}$ $\displaystyle = \int \frac{((x-a)^2+b^2)'} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \l...
...-1}{m-1} \frac{1}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}+C} & (m>1) \end{array}\right.$ (873)

と求まる. 第二項目の積分 $ J_{m}$ を計算する. $ m=1$ のとき

$\displaystyle J_{1}$ $\displaystyle = \int\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}= \frac{1}{b^2}\int \frac{dx}{1+\left...
...{b}\int \frac{\left(\frac{x-a}{b}\right)'} {1+\left(\frac{x-a}{b}\right)^2}\,dx$ (874)
  $\displaystyle = \frac{1}{b}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x-a}{b}\right)+C$ (875)

となる. $ m\ge2$ のときは漸化式

$\displaystyle J_{m}$ $\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right) \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^2} \frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$ (876)

より $ J_{m}$ が定まる. これを示す. 置換積分を用いると

$\displaystyle J_{m}$ $\displaystyle = \int\frac{dx}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m}}= \frac{1}{b^{2m-1}}...
...rac{x-a}{b}\right)^2\right)^m}\,dx= \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^m}$ (877)

となる.ここで $ \displaystyle{t=\frac{x-a}{b}}$ とおいた. 式変形すると

$\displaystyle J_{m}$ $\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{(1+t^2)-t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$ (878)
  $\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$ (879)
  $\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\times\frac{t}{(1+t^2)^{m}}\,dt$ (880)
  $\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\left(\frac{-1}{2(m-1)}\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$ (881)
  $\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \int t\left(\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$ (882)
  $\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \left\{ \frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \int\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\,dt\right\}$ (883)
  $\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{J_{m-1}}{2(m-1)b^{2}}$ (884)
  $\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}$ (885)
  $\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2}}\frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$ (886)

となり漸化式を得る.

例 5.22 (部分分数を積分する具体例)  

$\displaystyle \int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\,dx$ $\displaystyle = \int\left( -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}\right)\,dx$ (887)
  $\displaystyle = -\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x}+ \frac{2}{3}\int\frac{dx}{x-1}- \frac{1}{6}\int\frac{dx}{x+2}$ (888)
  $\displaystyle = -\frac{1}{2}\log\vert x\vert+ \frac{2}{3}\log\vert x-1\vert- \frac{1}{6}\log\vert x+2\vert+C$ (889)
  $\displaystyle = \frac{1}{6}\log \left\vert\frac{(x-1)^4}{x^3(x+2)}\right\vert+C\,.$ (890)

例 5.23 (部分分数を積分する具体例)  

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^3+1}$ $\displaystyle = \int\left( \frac{1}{3(x+1)}-\frac{x-2}{3(x^2-x+1)} \right)\,dx$ (891)
  $\displaystyle = \frac{1}{3} \int\frac{dx}{x+1}- \frac{1}{3} \int\frac{x-2}{x^2-x+1}$ (892)
  $\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{3} \int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$ (893)
  $\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{3} \int\frac{\left(x-\f...
...}{4}}\,dx+ \frac{1}{2} \int\frac{dx} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$ (894)
  $\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{6} \int\frac{\left(\lef...
...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$ (895)
  $\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{6}\log\left\vert \left(...
...\vert+ \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$ (896)
  $\displaystyle = \frac{1}{6}\log\left\vert \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}\right\vert+ \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\,.$ (897)

例 5.24 (部分分数を積分する具体例)  

$\displaystyle \int\frac{x-11}{x^2+3}\,dx$ $\displaystyle = \int\frac{x}{x^2+3}\,dx- 11\int\frac{dx}{x^2+3}\,dx$ (898)
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \int\frac{(x^2+3)'}{x^2+3}\,dx- \frac{11\sqrt{3}}{3...
...rac{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$ (899)
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \log\left\vert x^2+3\right\vert- \frac{11}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\,.$ (900)

例 5.25 (部分分数を積分する具体例)  

$\displaystyle \int\frac{x-11}{x^3+1}\,dx$ $\displaystyle = -4\int\frac{dx}{x+1}+ \int\frac{4x+7}{x^2-x+1}\,dx$ (901)
  $\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ \int\frac{4\left(x-\frac{1}{2}\right)+9} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$ (902)
  $\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 4\int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)} {\...
...2+\frac{3}{4}}\,dx+ 9\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$ (903)
  $\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 2\int\frac{\left(\left(x-\frac{1}{2}\righ...
...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$ (904)
  $\displaystyle = -4\log\vert x+1\vert+ 2\log\left\vert\left(x-\frac{1}{2}\right)...
...}{4}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$ (905)
  $\displaystyle = 2\log\left\vert\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right\vert+ 6\sqrt{3}\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\,.$ (906)


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29