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17 広義積分

有限区間で連続な関数に対し定義される量が定積分である. 不連続点を含む区間や無限区間における積分へ拡張する. この拡張された積分を広義積分(improper integral)という.

定義 5.58 (不連続点を含む区間での広義積分)   関数 $ f(x)$$ x=a$ で不連続で, $ (a,b]$ で連続なとき,

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\,.$ (1044)

$ x=b$ で不連続で,$ [a,b)$ で連続なとき,

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon}f(x)\,dx\,.$ (1045)

$ x=c$ $ (a<c<b)$ で不連続で,$ [a,b]$ で連続なとき,

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon_1\to+0} \int_{a+\epsilon_1}^{b}f(x)\,dx + \lim_{\epsilon_2\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx\,.$ (1046)

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという.

例 5.59 (不連続点を含む広義積分の具体例)  

  $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0...
...^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( 2\sqrt{1}-2\sqrt{\varepsilon} \right)=2\,.$ (1047)
  $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\varep...
...og 1-\log\varepsilon\right)= -\lim_{\varepsilon\to+0}\log\varepsilon=+\infty\,.$ (1048)
  $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\var...
...}^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0}\left( -1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=+\infty\,.$ (1049)

定理 5.60 (広義積分の収束次数)   実数 $ p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (0<p<1) \\ [1em] +\infty & (p\geq1) \end{array}\right.$ (1050)

問 5.61 (広義積分の収束次数)   これを示せ.

定義 5.62 (無限区間での広義積分)   関数 $ f(x)$ が無限区間 $ [a,\infty)$ で連続なとき,

  $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$ (1051)

無限区間 $ (-\infty,b]$ で連続なとき,

  $\displaystyle \int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$ (1052)

無限区間 $ (-\infty,\infty)$ で連続なとき,

  $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$ (1053)

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという.

例 5.63 (無限区間での広義積分の具体例)  

  $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}= \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b...
...}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{Tan}^{-1}(b)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)\right)$ (1054)
  $\displaystyle = \lim_{b\to\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(b)=\frac{\pi}{2}\,.$ (1055)

例 5.64 (無限区間での広義積分の具体例)   $ \alpha>0$ に対して

  $\displaystyle \int_{-\infty}^{0}e^{\alpha\,x}\,dx= \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^...
...a\to-\infty} \frac{1}{\alpha} \left(1-e^{\alpha\,a}\right)= \frac{1}{\alpha}\,.$ (1056)

例 5.65 (無限区間での広義積分の具体例)  

  $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^...
...g[2\sqrt{x}\Big]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(2\sqrt{b}-2\right)=+\infty\,.$ (1057)
  $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\fra...
...lim_{b\to\infty} \left(\log b-\log 1\right)= \lim_{b\to\infty}\log b=+\infty\,.$ (1058)
  $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\f...
...-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b}+1\right)=1\,.$ (1059)

定理 5.66 (広義積分の収束次数)   実数 $ p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ:

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & (0<p\leq1) \\ [1em] \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (p>1) \end{array}\right.$ (1060)

問 5.67 (広義積分の収束次数)   これを示せ.


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29