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16 回転体の体積

定理 5.55 (回転体の体積)   曲線 $ y=f(x)$ と直線 $ x=a$, $ x=b$, $ y=0$ とで囲まれてできる図形を $ x$ 軸の回りで $ 1$ 回転してできる立体の体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \pi\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\,dx$ (1042)

により求まる.

例 5.56 (回転体の体積)   $ y=x^2$$ x=1$, $ y=0$ とで囲まれてできる領域を $ x$ 軸の回りで $ 1$ 回転してできる立体の体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \pi\int_{0}^{1}\left(x^2\right)^2\,dx= \pi\int_{0}^{1}x^4\,dx= \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}= \frac{\pi}{5}\,.$ (1043)

問 5.57 (回転体の体積)   $ x^2+(y-2)^2=1$ の内部の領域を $ x$ 軸の回りで $ 1$ 回転してできる立体の 体積を求めよ.



Kondo Koichi
Created at 2003/08/29