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15 曲線の長さ
定理 5.51 (曲線の長さ) 区間における関数
のグラフの曲線の長さは
(1020)
により得られる.
注意 5.52 (曲線の長さ) 曲線のうちある点
のまわりの微小線分を
とする. このとき
を斜辺とする直角三角形を考える. その他の辺の長さを
,
とするとピタゴラスの定理より
(1021)
が成り立つ. 数学的には厳密ではないが次の展開をすると微小線分は
(1022)
と表される. 曲線の長さは微小線分
を全て足し合わせたものだから
(1023)
となる.
例 5.53 (曲線の長さの計算例) 単位円の円周の長さを考える.より
だから 多価関数の枝を分けて
(1024)
とする.このとき
(1025)
が成り立つ.よって
(1026) (1027)
を得る.
例 5.54 (曲線の長さの計算例)における曲線
の長さ考える.
であるから曲線の長さ
は
(1028)
と表される.積分を計算する.置換積分として
(1029)
とおく.すると
(1030)
となる.双曲線関数の性質
(1031)
を用いると
(1032)
となる.
(1033)
を用いると
(1034) (1035) (1036)
となる.ここで
(1037)
であることを用いると
(1038) (1039) (1040) (1041)
を得る.
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Created at 2003/08/29