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15 曲線の長さ

定理 5.51 (曲線の長さ)   区間 $ [a,b]$ における関数 $ y=f(x)$ のグラフの曲線の長さは

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (1020)

により得られる.

注意 5.52 (曲線の長さ)   曲線 $ s$ のうちある点 $ (x,y)$ のまわりの微小線分を $ ds$ とする. このとき $ ds$ を斜辺とする直角三角形を考える. その他の辺の長さを $ dx$, $ dy$ とするとピタゴラスの定理より

  $\displaystyle (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\,$ (1021)

が成り立つ. 数学的には厳密ではないが次の展開をすると微小線分 $ ds$

  $\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\,$ (1022)

と表される. 曲線の長さ $ s$ は微小線分 $ ds$ を全て足し合わせたものだから

  $\displaystyle s=\int_{0}^{s}\,ds= \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\,$ (1023)

となる.

例 5.53 (曲線の長さの計算例)   単位円の円周の長さを考える.$ x^2+y^2=1$ より $ y=\pm\sqrt{1-x^2}$ だから 多価関数の枝を分けて

$\displaystyle y_{+}$ $\displaystyle =\sqrt{1-x^2}\,,\quad y_{-}=-\sqrt{1-x^2}\,$ (1024)

とする.このとき

$\displaystyle \frac{y_{\pm}}{dx}$ $\displaystyle = \frac{\mp x}{\sqrt{1-x^2}}\,,\quad \sqrt{1+\left(\frac{dy_{\pm}}{dx}\right)^2}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (1025)

が成り立つ.よって

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left(\frac{dy_{+}}{dx}\right)^2}\,dx+ \in...
...dx= 2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= 4\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ (1026)
  $\displaystyle = 4\Big[\mathrm{Sin}^{-1}x\Big]_{0}^{1}= 4\left(\mathrm{Sin}^{-1}(1)-\mathrm{Sin}^{-1}(0)\right)= 4\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=2\pi$ (1027)

を得る.

例 5.54 (曲線の長さの計算例)   $ -1\leq x\leq 1$ における曲線 $ y=x^2$ の長さ考える. $ dy/dx=2x$ であるから曲線の長さ $ s$

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx= \int_{-1}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx= 2\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx$ (1028)

と表される.積分を計算する.置換積分として

$\displaystyle x$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\sinh t\,,\quad \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\cosh t\,,\quad t:0\to\sinh^{-1}(2)$ (1029)

とおく.すると

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}\cosh t\sqrt{1+\sinh^2t}\,dt$ (1030)

となる.双曲線関数の性質

$\displaystyle \cosh^2t-\sinh^2t=1$ (1031)

を用いると

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}\cosh^2 t\,dt$ (1032)

となる.

$\displaystyle \cosh^2 t$ $\displaystyle =\frac{1}{2}(\cosh 2t+1)$ (1033)

を用いると

$\displaystyle s$ $\displaystyle =\frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}(\cosh 2t+1)\,dt= \left[\frac{1}{4}\sinh 2t+\frac{t}{2}\right]_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$ (1034)
  $\displaystyle = \frac{1}{4}\left( \sinh(2\sinh^{-1}(2))-\sinh(2\sinh^{-1}(0))\right)+ \frac{1}{2}\left( \sinh^{-1}(2)-\sinh^{-1}(0)\right)$ (1035)
  $\displaystyle = \frac{1}{4}\sinh(2\sinh^{-1}(2))+\frac{1}{2}\sinh^{-1}(2)$ (1036)

となる.ここで

$\displaystyle \sinh^{-1}t$ $\displaystyle =\log\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)$ (1037)

であることを用いると

$\displaystyle s$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \frac{e^{2\log(2+\sqrt{2^2+1})}-e^{-2\log(2+\sqrt{2^2+1})}}{2}+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{2^2+1})$ (1038)
  $\displaystyle = \frac{1}{8} \left( \left(2+\sqrt{5}\right)^2-\left(\frac{1}{2+\sqrt{5}}\right)^2 \right)+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$ (1039)
  $\displaystyle = \frac{1}{8} \left( \left(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^2 \right)+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$ (1040)
  $\displaystyle = \frac{1}{8} \frac{(\sqrt{5}+2)^2-(\sqrt{5}-2)^2}{(\sqrt{5}-2)^2(\sqrt{5}+2)^2}+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})= \sqrt{5}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$ (1041)

を得る.


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29