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14 図形の面積

定理 5.49 (図形の面積)   曲線 $ y=f(x)$, $ y=g(x)$ と直線 $ x=a$, $ x=b$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$ (1007)

により求まる.

例 5.50 (図形の面積の計算例)   単位円 $ x^2+y^2=1$ の内部の領域の面積を求める. 円の方程式は書き直すと

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\pm\sqrt{1-x^2}$ (1008)

と表される.$ y(x)$ は 2 価関数である. 枝をそれぞれ

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sqrt{1-x^2}\,,\quad g(x)=-\sqrt{1-x^2}$ (1009)

とおく.このとき円の面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,dx= \int_{-1}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)\right)\,dx= 2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$ (1010)
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$ (1011)
     ($ x=\cos t$ とおく. $ dx/dt=-\sin t$ であり $ x:0\to1$ $ t:\pi/2\to0$ となる.) (1012)
  $\displaystyle = 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-\cos^2t}(-\sin t)\,dt$ (1013)
     (積分区間をひっくり返す. $ \cos^2t+\sin^2=1$ を用いて.) (1014)
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vert\sin t\vert\sin t\,dt$ (1015)
     ( $ 0\leq t\leq\pi/2$ のとき $ \sin t\ge0$ より) (1016)
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt$ (1017)
     ( $ \sin^2 t=(1-\cos2t)/2$ を用いて.) (1018)
  $\displaystyle = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2t)\,dt= \Big[2t-\sin 2t\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= 2\times\frac{\pi}{2}-0-\sin(\pi)+\sin(0)=\pi$ (1019)

と求まる.


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29