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13 定積分の計算

定理 5.41 (置換積分)   積分変数を $ x=\phi(t)$ と置き換えると定積分は

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\frac{dx}{dt}dt$ (968)

と表される.

例 5.42 (置換積分の計算例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx= \int_{0}^{1}\frac{\frac{dt}{dx}}{1+t^2} \frac{dx}{dt}dt= \int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^2}$ (969)
  $\displaystyle = \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$ (970)

ここで $ t=\sin x$ とおいた.このとき

$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x\,,\quad \frac{dx}{dt}=\left(\frac{dt}{dx}\right)^{-1}= \frac{1}{\cos x}$ (971)

であることを用いた. また積分区間は $ \displaystyle{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ から $ \displaystyle{0=\sin(0)\leq t\leq 1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}$ へと変わる.

定理 5.43 (部分積分)  

$\displaystyle \int_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx= \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}- \int_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx\,.$ (972)

例 5.44 (部分積分の計算例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{0}^{\pi}x\,\sin x\,dx= \int_{0}^{\pi}x\,(-\cos x)'\,dx= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi}1\times(-\cos x)\,dx$ (973)
  $\displaystyle = \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}+ \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx= \Big[-x...
...Big]_{0}^{\pi}+ \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi}= \Big[-x\cos x+\sin x\Big]_{0}^{\pi}$ (974)
  $\displaystyle = (-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-0\times\cos0+\sin0)=\pi\,.$ (975)

定理 5.45 (偶関数,奇関数の定積分)   関数 $ f(x)$ が偶関数のとき

$\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx\,.$ (976)

関数 $ f(x)$ が奇関数のとき

$\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\,.$ (977)

問 5.46 (三角関数の定積分)   自然数 $ n,m\in\mathbb{N}$ に対して

  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0\,,$ (978)
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0\,,$ (979)
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,,$ (980)
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0\,,$ (981)
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,$ (982)

となることを示せ(ヒント:積和の公式). ただし, $ \delta_{n,m}$クロネッカーのデルタ(Kronecker's delta) である.

問 5.47 (三角関数の定積分)   定積分

$\displaystyle I_{n}$ $\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\,,\quad J_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx\,\qquad (n=0,1,2,\cdots)$ (983)

  $\displaystyle I_{n}=J_{n}= \frac{(n-1)!!}{n!!}\varepsilon_{n}\,,\qquad \varepsi...
...($n$: 偶数)} \\ [2ex] \displaystyle{1} & \text{($n$: 奇数)} \end{array} \right.$ (984)

となることを示せ(ヒント: 例 [*]を用いよ).

例 5.48 (双曲線関数を用いた定積分)   定積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{-4}^{-2} \sqrt{x^2-1}\,dx$ (985)

を考える. 積分区間が $ x: -4\to-2$ であるから $ x<0$ である. このことに注意して変数変換を

  $\displaystyle x=-\cosh t<0\qquad\left(0<t=\mathrm{Cosh}^{-1}(-x)\right)$ (986)

とする.このとき積分区間は

$\displaystyle t: \mathrm{Cosh}^{-1}(4)\to\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$ (987)

となる.また

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sinh t$ (988)

であることを用いると

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}^{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sqrt{\cosh^2t-1}(-\sinh t)\,dt$ (989)
     (積分区間をひっくり返す. $ \cosh^2t-\sinh^2t=1$ を用いて.) (990)
  $\displaystyle = -\int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \...
...t^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \vert\sinh t\vert\,dt$ (991)
     ( $ \mathrm{Cosh}^{-1}(2)\leq t\leq\mathrm{Cosh}^{-1}(4)$ のとき $ \sinh t>0$ より.) (992)
  $\displaystyle = \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh^2 t\,dt$ (993)
     ( $ \sinh^2t=(\cosh 2t-1)/2$ を用いて.) (994)
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)...
... \frac{1}{2}\sinh(2t)-t \right]^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)}$ (995)
  $\displaystyle = \frac{1}{4}\sinh(2\,\mathrm{Cosh}^{-1}(4))- \frac{1}{4}\sinh(2\...
...h}^{-1}(2))- \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$ (996)

となる.ここで

$\displaystyle \mathrm{Cosh}^{-1}(x)= \log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ (997)

であることを用いる.このとき

  $\displaystyle \sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(x))= \frac{1}{2}\left( e^{2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}- e^{-2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)$ (998)
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2- \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)^2\right)$ (999)
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left( \left(\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\right)^2- \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)^2\right)$ (1000)
  $\displaystyle = \frac{2x\sqrt{x^2-1}} {\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}= 2x\sqrt{x^2-1}$ (1001)

より

$\displaystyle \frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(4))-\frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(2))$ $\displaystyle = \frac{2\times4}{4}\sqrt{4^2-1}-\frac{2\times2}{4}\sqrt{2^2-1}$ (1002)
  $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}$ (1003)

となる.また

  $\displaystyle -\frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(...
...}{2}\log\left(4+\sqrt{4^2-1}\right) +\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt{2^2-1}\right)$ (1004)
  $\displaystyle =-\frac{1}{2}\log\frac{4+\sqrt{15}}{2+\sqrt{3}}= -\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$ (1005)

である.よって

$\displaystyle I$ $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$ (1006)

を得る.


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29