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5 行列式の性質
定理 3.42 (行列式の行に関する性質) 行列式は次の性質もつ.
- (1)
成分を除いて
列目が全て 0 の場合は 行列式のサイズが一つ下がる.
(443)
- (2)
- 第
行目の要素全てが共通因子
をもつとき,
は行列式の外へ.
(444)
- (3)
- 第
行が二つのベクトルの和で表されるとき, 行列式の和に分解される.
(445)
- (4)
- 第
行と第
行を入れ替えると 行列式の符合が反転する.
(446)
- (5)
- 同じ行があるときは行列式は 0 となる.
(447)
- (6)
- 第
行を
倍して 第
行に加えても行列式は等しい.
(448)
問 3.43 (行列式の行に関する性質) これを示せ.
定理 3.44 (転置行列の行列式)
(449)
問 3.45 (転置行列の行列式) これを示せ.
定理 3.46 (行列式の列に関する性質)
問 3.47 これを示せ.
例 3.48 (行列式の計算の例)
定理 3.49
(450)
例 3.50 (計算例)
定理 3.51
(451)
例 3.52 (計算例)
注意 3.53であっても
が成り立つ. なぜなら
(452)
が成り立つからである.
定理 3.54 (行列式と行列の正則性) 行列が正則行列のとき
が成り立つ.
(証明)
定理 3.55 (逆行列の行列式)
(453)
(証明)
定理 3.56 (行列式の性質)
- (1)
- 一つの行を
倍すると行列式は
倍となる.
- (2)
- 一つの行が二つの行ベクトルの和で表せる行列式は, 他の行はそのままで, その行に各々の行ベクトルをとった行列式の和に等しい.
- (3)
- 二つの行を入れ替えると行列式は
倍となる.
- (4)
- 二つの行が等しい行列式は 0 である.
- (5)
- 一つの行を
倍して別の行に加えても 行列式は変らない.
定理 3.57 (行列式の性質)
- (1)
- 一つの列を
倍すると行列式は
倍となる.
- (2)
- 一つの列が二つの列ベクトルの和で表せる行列式は, 他の列はそのままで, その列に各々の列ベクトルをとった行列式の和に等しい.
- (3)
- 二つの列を入れ替えると行列式は
倍となる.
- (4)
- 二つの列が等しい行列式は 0 である.
- (5)
- 一つの列を
倍して別の列に加えても 行列式は変らない.
(証明)より
に行の基本変形
に列の基本変形
(454)
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Created at 2003/09/09