9 余因子行列と逆行列

定理 3.66 (行列式と行列の正則性)   正方行列 $A$ に対して， $\det(A)\neq0$ のとき $A$ は正則行列である．

（証明）

定理 3.67 (余因子行列と逆行列)   正方行列 $A$ に対して， $\det(A)\neq0$ のとき $A$ の逆行列は

$$A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{\det(A)}$$ (475)

で与えられる．

（証明）

例 3.68 (余因子を用いた逆行列の計算の具体例)   $n=2$ のとき

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} \\ \D... ...t & -\vert A_{21}\vert \\ -\vert A_{12}\vert & +\vert A_{22}\vert \end{bmatrix}$$ (476)

$$= \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \en... ...12}a_{21}} \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}\,.$$ (477)

$n=3$ のとき

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \De... ...t \\ +\vert A_{13}\vert & -\vert A_{23}\vert & +\vert A_{33}\vert \end{bmatrix}$$ (478)

$$= \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a... ...vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{array} \right]\,.$$ (479)

定理 3.69 (逆行列が存在するための十分条件)   正方行列 $A$, $B$ に対して $AB=E$ （または $BA=E$）が成立するとき， $B$ は $A$ の逆行列となる．

（証明）

例 3.70 (逆行列の計算例)  

Kondo Koichi
Created at 2003/09/09