5 平面の方程式

一般に $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ のとき 平面の方程式は

$$\vec{x}=\vec{q}+t\,\vec{u}+s\,\vec{v}\,,\quad \forall t, \forall s\in\mathbb{R}$$ (493)

と表される．

$\vec{x}\in\mathbb{R}^3$ のとき

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}... ...{bmatrix}\,,\quad \vec{v}= \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{bmatrix}$$ (494)

とすると

$$x = x_{0} + t\,u_{1}+ s\,v_{1}\,,$$ (495)

$$y = y_{0} + t\,u_{2}+ s\,v_{2}\,,$$ (496)

$$z = z_{0} + t\,u_{3}+ s\,v_{3}$$ (497)

$$\begin{bmatrix}x-x_{0} \\ y-y_{0} \\ z-z_{0} \end{bmatrix}= \begi... ..._{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}t \\ s \end{bmatrix}$$ (498)

$$\begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatrix} (x-x_... ... (y-y_0)+ \begin{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} (z-z_0)=0$$ (499)

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0\,,\quad \vec{n}= \begin{bmatrix}\... ...ix}\\ \begin{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$ (500)

$\vec{n}$ を法線ベクトル（normal vector）という． $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ であることに注意する．

Kondo Koichi
Created at 2003/09/09