3 関数のグラフ

$x$ 軸と $y$ 軸を 直角に交わるように描き $xy$ 平面 を用意する． 変数 $x$ の値を定義域内で変化させ，点 $(x,y)=(x,f(x))$ の軌跡を $xy$ 平面内に描く． これにより関数 $f(x)$ のグラフが得られる．

定義 2.3 (一価関数，多価関数)   ある一つの $x$ の値に対する $y$ の値の個数で 次のように関数を分類する．

• 一価関数（single valued function） $\cdots$ ある $x$ に対して $y$ の値がただ一つ定まる関数．
• 多価関数（many valued function） $\cdots$ ある $x$ に対して $y$ の値が複数定まる関数． $y$ の値の個数が $n$ 個となることが分かっている場合は， $n$ 価関数（$n$-valued function）と呼ぶ．

定義 2.4 (逆関数)   $y=f(x)$ を方程式とみなし， $x$ について解いたとき $x=g(y)$ が得られたとする． このとき $g(y)$ を逆関数（inverse function） と呼び $g(y)=f^{-1}(y)$ と書く． 変数の表し方が本質的でない場合は $y$ と $x$ を取り替えて $f^{-1}(x)$ と書く．

例 2.5 (逆関数の具体例)   関数 $y=f(x)=ax+b$ の逆関数を考える． $y=ax+b$ について解くと，$x=(y-b)/a$ となるので， 逆関数は $f^{-1}(y)=(y-b)/a$ となる． $y$ と $x$ を入れ替えると $f^{-1}(x)=(x-b)/a$ である．

問 2.6 (逆関数のグラフ)   関数 $y=f(x)$ のグラフとその逆関数 $y=f^{-1}(x)$ のグラフは， 直線 $y=x$ に関して線対称である． これを示せ．

定義 2.7 (枝，主枝，主値)   多価関数が一価関数となるように値域を限定する． このとき得られる一価関数それぞれを分枝（branch）と呼ぶ． この分枝のうち代表する一つを 主分枝（principal branch）と呼ぶ． 主分岐は主値(principal value)ともいう．

例 2.8 (一価関数，多価関数，逆関数，分枝の具体例)   $y=f(x)=x^2$ は一価関数である． この関数の逆関数は $y=f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x}$ であり 2 価関数となる． 値域を $y\geq0$ と $y\leq0$ とに限定すると 一価関数が二つ得られる． すなわち分枝は $y=\sqrt{x}$ と $y=-\sqrt{x}$ である．

問 2.9   参考書（p.19）問題 2-1.

定義 2.10 (単調関数)   関数 $f(x)$ が $x_{1}<x_{2}$ をみたす 任意の点 $x_{1}$, $x_{2}$ ( $\forall x_{1},x_{2}\in I$) に対して

• $f(x_{1})<f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は単調増加（monotonic increasing）であると呼ぶ．
• $f(x_{1})\le f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は 広義の単調増加（monotonic increasing in the wider sense）で あると呼ぶ．
• $f(x_{1})>f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は単調減少（monotonic decreasing）であると呼ぶ．
• $f(x_{1})\ge f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は 広義の単調減少（monotonic decreasing in the wider sense）で あると呼ぶ．

単調増加または単調減少である関数を 総称して単調関数（monotonic function）と呼ぶ．

例 2.11 (単調関数の具体例)   関数 $y=f(x)=ax$ を考える． $a>0$ のとき $f(x)$ は $-\infty<x<\infty$ において単調増加である． また $a<0$ のときは $f(x)$ は $-\infty<x<\infty$ において単調減少となる． なぜなら $f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1})$ であり， $x_{2}-x_{1}>0$ であることより， $a$ の符号により $f(x_{2})$ と $f(x_{1})$ の大小関係が 定まるからである．

定義 2.12 (周期関数)   $f(x+T)=f(x)$ を満たす関数を 周期関数（periodic function）と呼ぶ． $T$ を周期（period）と呼ぶ．

定義 2.13 (奇関数，偶関数)   $f(-x)=-f(x)$ を満たす関数を 奇関数（odd function）と呼ぶ． $f(-x)=(x)$ を満たす関数を 偶関数（even function）と呼ぶ．

問 2.14   奇関数は原点に関して点対称のグラフとなる． 偶関数は $y$ 軸に関して線対称なグラフとなる． これを示せ．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14