5 収束する数列のいろいろ

例 4.17 (有理式で表される数列の極限)   一般項が

$$a_{n} =\frac{2n^2+1}{3n^2+5n-1}$$ (399)

により与えられる数列を考える． 定理を適用して計算を試みる． 分子分母の極限をとり，

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}= \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2+5n-1}... ...^2+1)}} {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(3n^2+5n-1)}}= \frac{\infty}{\infty}\,.$$ (400)

を得るがこれは誤りである． そもそも分子分母はそれぞれ発散するので定理は適用不可である． あらためて計算を行なう：

$$\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2+5n-1}= \lim_{n\to\infty}\fr... ...t)}} {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}}$$ (401)

$$= \frac{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(2\right)+ \lim_{n\to... ...\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right)}}= \frac{2+0}{3+0-0}=\frac{2}{3}\,.$$ (402)

今回は有限確定となり極限が求まる． 計算の途中においては，定理が適用可能であるかの判断は難しい． 最終形まで計算した結果が有限確定または無限確定であれば， 途中の計算も定理が適用可能であることが多い．

次に一般項が

$$a_{n}=\frac{n^2+5n+1}{n+2}$$ (403)

で与えられる数列を考える．式を変形して極限を考える：

$$a_{n} =\frac{n^2+5n+1}{n+2}=\frac{n+5/n+1/n^2}{1+2/n} \to \frac{\infty}{1}=\infty\,.$$ (404)

最後に一般項が

$$a_{n} =\frac{n+4}{n^2-3n+1}$$ (405)

である数列の極限を考える． 式を変形して極限を考える：

$$a_{n} =\frac{n+4}{n^2-3n+1}= \frac{1/n+4/n^2}{1-3/n+1/n^2}\to \frac{0+0}{1-0+0}=\frac{0}{1}=0\,.$$ (406)

以上をまとめると， 有理式で表される数列の極限は， 有理式の最大次数の巾で分子分母を割った後に極限をとればよい．

例 4.18 (根号を含む数列の極限)   一般項が

$$a_{n} =\frac{\sqrt{n}}{n+3}$$ (407)

で与えられる数列の極限を考える． 式を次のように変形した後に極限をとる：

$$a_{n} =\frac{\sqrt{n}}{n+3}= \frac{\sqrt{n/n^2}}{1+3/n}= \frac{\sqrt{1/n}}{1+3/n} \to \frac{0}{1+0}=\frac{0}{1}=0\,.$$ (408)

問 4.19   参考書（p.12）第１章演習問題．

例 4.20 (等比数列の極限)   等比数列 $a_{n}=r^{n}\ (r>0)$ の極限を考える． (i) $r>1$, (ii) $r=1$, (iii) $r>1$ の場合に分けて議論する． まず，(i) $r=1$ のとき，常に $a_{n}=1$ である．極限は $1$ である． つぎに，(iii) $r>1$ のとき， $r=1+h\ (h>0)$ とおく．このとき $r>1$ をみたす． $a_{n}$ を $h$ を用いて書き下すと

$$a_{n} =(1+h)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}h^k$$ (409)

を得る．ここで $\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}$ は 二項係数（binomial coefficient）であり，

$$\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} =\frac{n!}{(n-k)!k!}$$ (410)

と定義する． $n!$ は階乗（fractorial number）であり，

$$n!=n\times(n-1)!\,, \qquad 0!=1$$ (411)

と再帰的に定義する． $a_{n}$ をあらためて書き直すと

$$a_{n} = (1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+ \cdots+n\,h^{n-1}+h^n\right)$$ (412)

となる． 第三項以降を足したものは正となるので，

$$a_{n}>1+nh$$ (413)

を得る． $n\to\infty$ のとき $1+nh\to\infty$ より $a_{n}\to\infty$ を得る． 最後に，(i) $r<1$ のときを考える． $h>0$ を用いて $r$ を $r=1/(1+h)$ と置き換える． このとき $r<1$ を満たす． $h$ を用いて $a_{n}$ を書き下すと，

$$a_{n} =\frac{1}{(1+h)^n}= \frac{1}{(1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+\cdots+h^n\right)} <\frac{1}{1+nh}$$ (414)

を得る． 不等式

$$0<a_{n}<\frac{1}{1+nh}$$ (415)

が成立する． $n\to\infty$ のとき $1/(1+nh)\to0$ であるから， はさみうちの定理より $a_{n}\to 0$ を得る． 以上をまとめると

$$\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} r^{n}= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (r<1)\\ [1em] 1 & (r=1)\\ [1em] \infty & (r>1) \end{array} \right.$$ (416)

が求まる．

公式 4.21 (ネピア数)  

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$ (417)

この定数 $e$ をネピア数（Napier's number）という．

問 4.22   極限 $${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}}$$ $(\alpha\in\mathbb{R})$ を求めよ．

問 4.23   次の漸化式で与えられる数列の一般項と極限を求めよ．

(1)

$a_{n+1}=p\,a_{n}+q$.

(2)

$a_{n+2}=2p\,a_{n+1}+q\,a_{n}$.

(答え) (1)

$$a_{n} = \left\{\begin{array}{lc} \displaystyle{ p^{n-1}\left(a_{1}-\fra... ...ht)} & (p\neq1) \\ [1em] \displaystyle{(n-1)q+a_{1}} & (p=1) \end{array}\right.$$ (418)

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \infty & (\vert p\vert\geq1) \\ [1em] 0 & (\vert p\vert<1) \end{array} \right.$$ (419)

(2)

$$a_{n}=c_{1}\,\lambda_{1}^{n-1}+c_{2}\,\lambda_{2}^{n-1}$$ (420)

$$\lambda_{1}=p+\sqrt{p^2+q}\,,\qquad \lambda_{2}=p-\sqrt{p^2+q}\,,$$ (421)

$$c_{1}=\frac{a_{1}\lambda_{2}-a_{2}}{-2\sqrt{p^2+q}}\,,\quad c_{2}=\frac{a_{2}-a_{1}\lambda_{1}}{-2\sqrt{p^2+q}}$$ (422)

$\vert\lambda_{1}\vert<1$ かつ $\vert\lambda_{2}\vert<1$ のとき $a_{n}$ は 0 に収束する． それ以外は発散する．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14