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6 数列の有界性と単調性
定義 4.24 (有界数列) 数列に対して次の性質を定義する.
有界な数列を有界数列(bounded sequence)と呼ぶ.
を満たすとき, 数列
は上に有界(bounded from above) であるという.
を上界(upper bound)と呼ぶ.
を満たすとき, 数列
は 下に有界(bounded from below)であるという.
を下界(lower bound)と呼ぶ.
を満たすとき, 数列
は有界(bounded)であるという.
例 4.25 (有界な数列の具体例)は
を満たすので有界である.
定義 4.26 (単調数列) 数列に対して次の性質を定義する.
単調増加もしくは単調減少な数列を総称して 単調数列(monotonic sequence)と呼ぶ.
を満たすとき, 数列
は 単調増加(monotonic increasing)であるという.
を満たすとき, 数列
は 広義の単調増加 (monotonic increasing in the wider sense)であるという.
を満たすとき, 数列
は 単調減少(monotonic decreasing)であるという.
を満たすとき, 数列
は 広義の単調減少(monotonic decreasing in the wider sense)で あるという.
定理 4.27 (有界な単調数列の収束性) 有界な広義の単調数列は収束する.
例 4.28 (有界な単調数列の具体例) 数列
(423)
を考える.
(424)
を満たすのでは単調増加である. 初項
は下界となる. 上界は
(425)
により求まる.となるので
は有界である. 定理より
は収束する. 実際,極限を求めると
(426)
と得られる.
問 4.29 参考書(p.174)問題7-2.
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Created at 2004/08/14