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巾級数
![$\displaystyle f(x)$](img1795.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$](img1796.png) |
(541) |
を考える.
関数
が与えられたとし,
テイラー級数の係数
を導出する.
が
に十分近いとき
は
次数
が大きいほど小さくなる.
つまり小さい次数の項が主要な項となる.
よって小さい次数の係数より順に値を定めて行く.
まず巾級数
![$\displaystyle f(x)$](img1803.png) |
![$\displaystyle =c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$](img1804.png) |
(542) |
に
を代入する.すると
![$\displaystyle f(a)$](img1806.png) |
![$\displaystyle =c_{0}+0+0+\cdots=c_{0}$](img1807.png) |
(543) |
となる.よって係数を
と定める.
巾級数は
![$\displaystyle f(x)$](img1809.png) |
![$\displaystyle =f(a)+ c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$](img1810.png) |
(544) |
となる.
両辺を微分すると
![$\displaystyle f'(x)$](img1811.png) |
![$\displaystyle = c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^2+ 4c_{4}(x-a)^3+5c_{5}(x-a)^4+\cdots$](img1812.png) |
(545) |
を得る.ここに
を代入すると
![$\displaystyle f'(a)$](img1814.png) |
![$\displaystyle =c_{1}+0+0+\cdots=c_{1}$](img1815.png) |
(546) |
となるので係数を
と定める.
このとき巾級数とその導関数は
となる.
これで
次の項までの係数が定まった.
の最初の二つの項までをみると
における接線の方程式となっている.
次に
階,
階の導関数と求めて行くと
となる.
を代入すると
となるので係数が
![$\displaystyle c_{2}$](img1843.png) |
![$\displaystyle =\frac{f''(a)}{2!}\,,\quad c_{3}=\frac{f'''(a)}{3!}\,,\quad c_{4}=\frac{f^{(4)}(a)}{4!}\,,\quad c_{5}=\frac{f^{(5)}(a)}{5!}$](img1844.png) |
(557) |
と定まる.
同様な操作を繰り返せば
![$\displaystyle c_{n}$](img1845.png) |
![$\displaystyle =\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$](img1846.png) |
(558) |
を得る.
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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14