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例 5.9 (指数関数のテイラー級数)
![$\displaystyle e^{x}$](img1847.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$](img1848.png) |
(559) |
(導出)
![$ f(x)=e^{x}$](img1849.png)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$](img1850.png) |
(560) |
となる.
点
![$ x=0$](img1851.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$](img1852.png) |
(561) |
である.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img1853.png) |
![$\displaystyle =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}...
...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$](img1854.png) |
(562) |
と求まる.
巾級数
![$ \sum c_{n}(x-a)^n$](img1855.png)
の
収束半径
![$ r$](img1856.png)
を求める.
係数は
![$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{n!}$](img1857.png) |
(563) |
であるから,
収束半径として
![$\displaystyle r$](img1858.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$](img1859.png) |
(564) |
を得る.
例 5.10 (三角関数のテイラー級数)
(導出)
![$ f(x)=\sin x$](img1864.png)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$](img1865.png) |
(567) |
である.一般的に書くと
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img1866.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \...
...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$](img1867.png) |
(568) |
である.点
![$ x=0$](img1868.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1869.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$](img1870.png) |
(569) |
と求まる.
これを用いてテーラー級数を求めると
![$\displaystyle f(x)$](img1871.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$](img1872.png) |
(570) |
|
![$\displaystyle \qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$](img1873.png) |
(571) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^...
...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$](img1874.png) |
(572) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$](img1875.png) |
(573) |
|
![$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$](img1876.png) |
(574) |
|
![$\displaystyle \qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$](img1877.png) |
(575) |
|
![$\displaystyle = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$](img1878.png) |
(576) |
|
![$\displaystyle \qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$](img1879.png) |
(577) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$](img1880.png) |
(578) |
を得る.
収束半径を求める.
![$\displaystyle c_{n}$](img1881.png) |
![$\displaystyle =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$](img1882.png) |
(579) |
とおくと
が得られる.
例 5.11 (対数関数のテイラー級数)
![$\displaystyle \log(1+x)$](img1886.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)\,.$](img1887.png) |
(582) |
(導出)
![$ f(x)=\log(1+x)$](img1888.png)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)$](img1889.png) |
![$\displaystyle =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$](img1890.png) |
(583) |
となる.一般的には
![$ n\geq1$](img1891.png)
に対して
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img1892.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$](img1893.png) |
(584) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img1894.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1895.png) |
![$\displaystyle = (-1)^{n-1}(n-1)!$](img1896.png) |
(585) |
となる.
よってテーラー級数は
と得られる.
収束半径
![$ r$](img1900.png)
を求める.
![$\displaystyle c_{n}$](img1901.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$](img1902.png) |
(588) |
とおくと,
![$\displaystyle r$](img1903.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ...
...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$](img1904.png) |
(589) |
と得られる.
例 5.12 (有理関数のテイラー級数)
![$\displaystyle \frac{1}{1-x}$](img1905.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$](img1906.png) |
(590) |
(導出)
![$ f(x)=1/(1-x)$](img1907.png)
とおく.
導関数を計算すると
![$\displaystyle f(x)$](img1908.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$](img1909.png) |
(591) |
である.
一般的には
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img1910.png) |
![$\displaystyle = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$](img1911.png) |
(592) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img1912.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1913.png) |
![$\displaystyle =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$](img1914.png) |
(593) |
と得られる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img1915.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$](img1916.png) |
(594) |
となる.
収束半径
![$ r$](img1917.png)
は
![$ c_{n}=1$](img1918.png)
とおくと
![$\displaystyle r$](img1919.png) |
![$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$](img1920.png) |
(595) |
と得られる.
例 5.13 (多項式のテイラー級数)
![$ \alpha$](img1921.png)
が自然数以外の実数のとき,
![$ \alpha$](img1925.png)
が自然数のとき,
(導出)
![$ f(x)=(1+x)^{\alpha}$](img1929.png)
とおく.
導関数を計算すると
である.
![$ \alpha$](img1934.png)
が自然数の場合と,
それ以外の場合に分けて考える.
まず
![$ \alpha$](img1935.png)
が自然数以外の実数のときを考える.
導関数は
と表わされる.
点
![$ x=0$](img1939.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1940.png) |
![$\displaystyle =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$](img1941.png) |
(604) |
となる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img1942.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$](img1943.png) |
(605) |
と求まる.
収束半径
![$ r$](img1944.png)
は
![$\displaystyle c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$](img1945.png) |
(606) |
とおくと,
と得られる.
次に
![$ \alpha$](img1949.png)
が自然数のときを考える.
導関数は
![$\displaystyle f^{(n)}(x)$](img1950.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$](img1951.png) |
(609) |
と表わされる.
点
![$ x=0$](img1952.png)
における微分係数は
![$\displaystyle f^{(n)}(0)$](img1953.png) |
![$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$](img1954.png) |
(610) |
と求まる.
よってテーラー級数は
![$\displaystyle f(x)$](img1955.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$](img1956.png) |
(611) |
と得られる.
この展開式は有限項の和であり,有限次数の多項式である.
![$ \alpha$](img1957.png)
が自然数のときのテーラー展開は
二項展開となる.
展開式は多項式であり任意の実数
![$ x$](img1958.png)
に対して成立する.
よって
![$ \vert x\vert<\infty$](img1959.png)
であり,収束半径は
![$ r=\infty$](img1960.png)
となる.
問 5.14
参考書(p.191)問題 7-5 2, 3.
定義 5.15 (階乗の拡張)
![$ \alpha$](img1961.png)
を実数とする.このとき
![$ \alpha!$](img1962.png)
を
![$\displaystyle \alpha!$](img1963.png) |
![$\displaystyle =\alpha(\alpha-1)!\,,\quad 0!=1$](img1964.png) |
(612) |
と定義する.
例 5.16 (階乗の具体例)
![$ \alpha$](img1965.png)
が自然数
![$ n$](img1966.png)
のとき
![$\displaystyle \alpha!$](img1967.png) |
![$\displaystyle =n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$](img1968.png) |
(613) |
である.
![$ \alpha$](img1969.png)
が自然数ではないとき
![$\displaystyle \alpha!$](img1970.png) |
![$\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots= \prod_{n=0}^{\infty}(\alpha-n)$](img1971.png) |
(614) |
となり無限積で表わされる.
例えば
![$ \alpha=1/2$](img1972.png)
のときは
となる.
定義 5.17 (二項係数の拡張)
実数
![$ \alpha$](img1976.png)
, 自然数
![$ n$](img1977.png)
に対して
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$](img1978.png) |
![$\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)} {n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}\,$](img1979.png) |
(617) |
と定義する.
例 5.18 (二項係数の具体例)
![$ \alpha$](img1980.png)
が自然数
![$ m$](img1981.png)
のときは
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}$](img1982.png) |
![$\displaystyle = \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}= \frac{m!}{(m-n)!n!}$](img1983.png) |
(618) |
であり通常の二項係数と等しい.
![$ \alpha=1/2$](img1984.png)
,
![$ n=3$](img1985.png)
のとき
![$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}$](img1986.png) |
![$\displaystyle = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}-1\right) \left...
...eft(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1}{16}$](img1987.png) |
(619) |
となる.
![$ \alpha=-2$](img1988.png)
,
![$ n=3$](img1989.png)
のとき
![$\displaystyle \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$](img1990.png) |
![$\displaystyle = \frac{(-2)(-3)(-4)}{3\cdot2\cdot1}=-4$](img1991.png) |
(620) |
となる.
注意 5.19 (三角関数と指数関数)
三角関数と指数関数は
![$\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$](img1992.png) |
(621) |
の関係にある.
ここで
![$ e^{\pm ix}$](img1993.png)
は複素指数関数である.
複素指数関数は複素数
![$ z=x+iy$](img1994.png)
に対して
![$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$](img1995.png) |
(622) |
と定義される.
右辺は複素巾級数である.
この定義より関係式が自然に導出される.
このとき
![$ x=0$](img1996.png)
とし
![$ z=iy$](img1997.png)
とおく.
すると
![$\displaystyle e^{iy}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!}$](img1998.png) |
![$\displaystyle = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2}+i^3\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$](img1999.png) |
(623) |
|
![$\displaystyle = 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}{5!} -\frac{y^6}{6!}+ \cdots$](img2000.png) |
(624) |
|
![$\displaystyle = \left( 1 -\frac{y^2}{2} +\frac{y^4}{4!} -\frac{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$](img2001.png) |
(625) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img2002.png) |
(626) |
|
![$\displaystyle =\cos y+i\sin y$](img2003.png) |
(627) |
を得る.
同様に
![$ z=-iy$](img2004.png)
とおくと
![$\displaystyle e^{-iy}$](img2005.png) |
![$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}$](img2006.png) |
(628) |
|
![$\displaystyle = 1+i(-y)+i^2\frac{(-y)^2}{2}+i^3\frac{(-y)^3}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$](img2007.png) |
(629) |
|
![$\displaystyle = 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$](img2008.png) |
(630) |
|
![$\displaystyle = \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$](img2009.png) |
(631) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img2010.png) |
(632) |
|
![$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$](img2011.png) |
(633) |
|
![$\displaystyle =\cos y-i\sin y$](img2012.png) |
(634) |
を得る.
![$ y$](img2013.png)
を
![$ x$](img2014.png)
に置き換えることで,最初の関係式を得る.
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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14