4 テイラー級数の具体例

例 5.9 (指数関数のテイラー級数)  

$$e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (559)

（導出） $f(x)=e^{x}$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$$ (560)

となる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$$ (561)

である． よってテーラー級数は

$$f(x) =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}... ...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ (562)

と求まる． 巾級数 $\sum c_{n}(x-a)^n$ の 収束半径 $r$ を求める． 係数は

$$c_{n}=\frac{1}{n!}$$ (563)

であるから， 収束半径として

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$$ (564)

を得る．

例 5.10 (三角関数のテイラー級数)  

$$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}= x-\frac{... ...cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (565)

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac{x^2}{2... ...{4!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (566)

（導出） $f(x)=\sin x$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$$ (567)

である．一般的に書くと

$$f^{(n)}(x) = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \... ...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$$ (568)

である．点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$$ (569)

と求まる． これを用いてテーラー級数を求めると

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ (570)

$$\qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$$ (571)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^... ...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$$ (572)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$$ (573)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$$ (574)

$$\qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$$ (575)

$$= \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$$ (576)

$$\qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$$ (577)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$$ (578)

を得る． 収束半径を求める．

$$c_{n} =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$$ (579)

とおくと

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ... \frac{(2n+1)!}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$$ (580)

$$= \lim_{n\to\infty} (2n+1)(2n) = \lim_{n\to\infty} (4n^2+2n) =\infty$$ (581)

が得られる．

例 5.11 (対数関数のテイラー級数)  

$$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)\,.$$ (582)

（導出） $f(x)=\log(1+x)$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x) =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$$ (583)

となる．一般的には $n\geq1$ に対して

$$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$$ (584)

と表わされる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$$ (585)

となる． よってテーラー級数は

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$$ (586)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}$$ (587)

と得られる． 収束半径 $r$ を求める．

$$c_{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$ (588)

とおくと，

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$$ (589)

と得られる．

例 5.12 (有理関数のテイラー級数)  

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$$ (590)

（導出） $f(x)=1/(1-x)$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x) =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$$ (591)

である． 一般的には

$$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$$ (592)

と表わされる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$$ (593)

と得られる． よってテーラー級数は

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$$ (594)

となる． 収束半径 $r$ は $c_{n}=1$ とおくと

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$$ (595)

と得られる．

例 5.13 (多項式のテイラー級数)   $\alpha$ が自然数以外の実数のとき，

$$(1+x)^{\alpha} =1+ \alpha\,x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+ \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$$ (596)

$$= \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$$ (597)

$\alpha$ が自然数のとき，

$$(1+x)^{\alpha} =1+\alpha\,x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\cdots+ \frac{\alph... ...1)}{2}x^{\alpha-2}+ \alpha\,x^{\alpha-1}+ x^{\alpha} \quad(\vert x\vert<\infty)$$ (598)

$$= \sum_{n=0}^{\alpha} \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$$ (599)

（導出） $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x) =(1+x)^{\alpha}\,,\quad f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}\,,\quad f''(x)=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}\,,\quad$$ (600)

$$f'''(x) =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3}\,,\quad \cdots$$ (601)

である． $\alpha$ が自然数の場合と， それ以外の場合に分けて考える． まず $\alpha$ が自然数以外の実数のときを考える． 導関数は

$$f^{(n)}(x) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1) (1+x)^{\alpha-n}$$ (602)

$$= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}$$ (603)

と表わされる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$$ (604)

となる． よってテーラー級数は

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$$ (605)

と求まる． 収束半径 $r$ は

$$c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$$ (606)

とおくと，

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...ert\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!} \frac{(\alpha-n-1)!(n+1)!}{\alpha!}\right\vert$$ (607)

$$= \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{n+1}{\alpha-n}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{1+1/n}{\alpha/n-1}\right\vert=1$$ (608)

と得られる． 次に $\alpha$ が自然数のときを考える． 導関数は

$$f^{(n)}(x) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$$ (609)

と表わされる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$$ (610)

と求まる． よってテーラー級数は

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al... ...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$$ (611)

と得られる． この展開式は有限項の和であり，有限次数の多項式である． $\alpha$ が自然数のときのテーラー展開は 二項展開となる． 展開式は多項式であり任意の実数 $x$ に対して成立する． よって $\vert x\vert<\infty$ であり，収束半径は $r=\infty$ となる．

問 5.14   参考書（p.191）問題 7-5 2, 3.

定義 5.15 (階乗の拡張)   $\alpha$ を実数とする．このとき $\alpha!$ を

$$\alpha! =\alpha(\alpha-1)!\,,\quad 0!=1$$ (612)

と定義する．

例 5.16 (階乗の具体例)   $\alpha$ が自然数 $n$ のとき

$$\alpha! =n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$ (613)

である．$\alpha$ が自然数ではないとき

$$\alpha! = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots= \prod_{n=0}^{\infty}(\alpha-n)$$ (614)

となり無限積で表わされる． 例えば $\alpha=1/2$ のときは

$$\left(\frac{1}{2}\right)! = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-1\right) \left(\frac{1}{2}-2\righ... ...ft(\frac{1}{2}-3\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}-n\right)$$ (615)

$$= \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right) \left(-\frac{5}{2}\right) \cdots = \prod_{n=0}^{\infty}\frac{-2n+1}{2}$$ (616)

となる．

定義 5.17 (二項係数の拡張)   実数 $\alpha$, 自然数 $n$ に対して

$$\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix} = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)} {n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}\,$$ (617)

と定義する．

例 5.18 (二項係数の具体例)   $\alpha$ が自然数 $m$ のときは

$$\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}= \frac{m!}{(m-n)!n!}$$ (618)

であり通常の二項係数と等しい． $\alpha=1/2$, $n=3$ のとき

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}-1\right) \left... ...eft(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1}{16}$$ (619)

となる． $\alpha=-2$, $n=3$ のとき

$$\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(-2)(-3)(-4)}{3\cdot2\cdot1}=-4$$ (620)

となる．

注意 5.19 (三角関数と指数関数)   三角関数と指数関数は

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$$ (621)

の関係にある． ここで $e^{\pm ix}$ は複素指数関数である． 複素指数関数は複素数 $z=x+iy$ に対して

$$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$$ (622)

と定義される． 右辺は複素巾級数である． この定義より関係式が自然に導出される． このとき $x=0$ とし $z=iy$ とおく． すると

$$e^{iy}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!} = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2}+i^3\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$$ (623)

$$= 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}{5!} -\frac{y^6}{6!}+ \cdots$$ (624)

$$= \left( 1 -\frac{y^2}{2} +\frac{y^4}{4!} -\frac{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$$ (625)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ (626)

$$=\cos y+i\sin y$$ (627)

を得る． 同様に $z=-iy$ とおくと

$$e^{-iy} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}$$ (628)

$$= 1+i(-y)+i^2\frac{(-y)^2}{2}+i^3\frac{(-y)^3}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$$ (629)

$$= 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$$ (630)

$$= \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$$ (631)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ (632)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ (633)

$$=\cos y-i\sin y$$ (634)

を得る． $y$ を $x$ に置き換えることで，最初の関係式を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14