5 解析関数

定義 5.20 (解析関数)   関数 $f(x)$ がテイラー級数で表されるとき， 関数 $f(x)$ は解析的（analytic）であるという． 解析的な関数を解析関数（analytic function）と呼ぶ．

定理 5.21 (解析関数の性質)   関数 $f(x)$, $g(x)$ が解析的であるとき，次の関数

$$\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)\,,\quad f(x)g(x)\,,\quad \frac{f(x)}{g(x)}\,,\quad f(g(x))$$ (635)

もまた解析的である．

例 5.22 (テイラー級数の計算例)   関数 $f(x)=e^{x}$ のテイラー級数は

$$f(x) =e^{x}= 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}$$ (636)

と表わされる． このとき $g(x)=e^{\alpha x}$ のテイラー級数を求める． $g(x)$ は $f(x)$ を用いると $g(x)=f(\alpha x)$ と書ける． $f(x)$ のテイラー級数の $x$ に $\alpha x$ を代入すると

$$g(x)=e^{\alpha\,x} = 1+(\alpha\,x)+\frac{1}{2}(\alpha\,x)^2+ \frac{1}{6}(\alpha\,x)^3+\cdots$$ (637)

$$=1+\alpha\,x+\frac{\alpha^2}{2}x^2+ \frac{\alpha^3}{6}x^3+\cdots$$ (638)

を得る． この展開式はテイラー級数の公式を $g(x)$ に適用したものと 同じものとなる． 同様に $g(x)=e^{-x^2}$ のテイラー級数は

$$g(x) =f(-x^2)=e^{-x^2}= 1+(-x^2)+\frac{1}{2}(-x^2)^2+\frac{1}{6}(-x^2)^3+\cdots$$ (639)

$$=1-x^2+\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{6}x^6+\cdots$$ (640)

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-x^2\right)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}$$ (641)

と求まる．

例 5.23 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x} =1+x+x^2+x^3+\cdots$$ (642)

$$\frac{1}{1-x-x^2} = 1+\left(x+x^2\right)+ \left(x+x^2\right)^2+ \left(x+x^2\right)^3+\cdots$$ (643)

$$=1+(x+x^2)+(x^2+2x^3+x^4)+(x^3+3x^4+3x^5+x^6)+\cdots$$ (644)

$$=1+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots$$ (645)

例 5.24 (テイラー級数の計算例)  

$$\sqrt{1-x} = 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\cdots$$ (646)

$$\sqrt{1-x-x^2} = 1-\frac{1}{2}(x+x^2)-\frac{1}{8}(x+x^2)^2-\frac{1}{16}(x+x^2)^3+\cdots$$ (647)

$$= 1-\frac{1}{2}x-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\right)x^2- \left(\frac{2}{8}+\frac{1}{16}\right)x^3+\cdots$$ (648)

$$= 1-\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\cdots$$ (649)

例 5.25 (テイラー級数の計算例)  

$$e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ (650)

$$e^{-x} = 1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!}$$ (651)

$$\sinh x =\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$$ (652)

$$=\frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}... ...{(-1)^n x^n}{n!} \right) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n!}x^n$$ (653)

$$\quad(n=2k,n=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$$ (654)

$$= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+ \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$ (655)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$ (656)

$$\quad(k\to n-1;n=1,2,3,\cdots)$$ (657)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}$$ (658)

問 5.26 (テイラー級数の計算)   $\cosh x$ のテイラー級数を求めよ．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14