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4 置換積分法

定理 6.7 (置換積分法)   積分変数を $ x=\phi(t)$ と変換すると

  $\displaystyle \int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$ (820)

となる. また逆に

  $\displaystyle \int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$ (821)

と積分変数を $ t=\psi(x)$ と置き換えて積分する. この積分の方法を 置換積分法(integration by substitution)という.


(証明)関数 $ F(x)$$ f(x)$ の原始関数とする. 変数 $ x$$ x=\phi(t)$ と変数変換する. このとき $ \displaystyle{\frac{dF}{dt}}$ は 合成関数の微分則より

$\displaystyle \frac{dF(\phi(t))}{dt}$ $\displaystyle = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$ (822)

となる.両辺を $ t$ で積分すると

  $\displaystyle \int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$ (823)

を得る.左辺は

$\displaystyle \int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$ (824)

であるから証明終了.

例 6.8 (置換積分の使用例)   不定積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int(ax+b)^{m}\,dx$ (825)

を計算する.まず

$\displaystyle t$ $\displaystyle =ax+b$ (826)

と変数変換する.このとき両辺を $ x$ で微分すると

$\displaystyle \frac{dt}{dx}$ $\displaystyle =a$ (827)

であるので

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ $\displaystyle =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$ (828)

を得る.これより置換積分法を用いると不定積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1...
...[3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$ (829)

となる.変数 $ t$$ x$ に戻すと

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m...
...x] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$ (830)

を得る.

置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする. 次のように式変形を行なう:

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int (ax+b)^{m}\,dx$ (831)
  $\displaystyle = \frac{1}{a}\int (ax+b)^{m}(ax+b)'\,dx$ (832)
  $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{a(m+1)}(ax+b)^...
...\displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.\,.$ (833)

例 6.9 (置換積分の使用例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$ (834)

例 6.10 (置換積分の使用例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\frac{(x+2)\,dx}{\sqrt{1-2x^2}} = \int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-...
...ight)^{-\frac{1}{2}}\,dx + \int\frac{2\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$ (835)
  $\displaystyle = -\frac{1}{4} \int \left(1-2x^2\right)' \left(1-2x^2\right)^{-\f...
...{2}} \int\frac{\left(\sqrt{2}x\right)'\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$ (836)
  $\displaystyle = -\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}} + \fr...
...frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + \sqrt{2}\mathrm{Sin}^{-1}\left(\sqrt{2}x\right)+ C\,.$ (837)

例 6.11 (置換積分の使用例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1...
...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$ (838)

これで不定積分は得られたが他の表現も考える. 逆双曲線関数は

$\displaystyle \sinh^{-1}x$ $\displaystyle = \log(x+\sqrt{x^2+1})$ (839)

とも表される.これを用いると不定積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\log\left( \frac{x}{a}+ \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2+1} \right)+C$ (840)

となる.またこれを変形すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\log \frac{1}{a} \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C= \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C-\log a$ (841)

となる. $ C$ は任意の定数なので $ C-\log a$ をあらためて $ C$ と おき直すと

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$ (842)

を得る. 以上得られた結果は 任意定数分の不定性を除けば全て同じ不定積分である.

注意 6.12 (不定積分の関数の表現)   不定積分は計算の方法により得られる結果が一見すると 違うときがある. これは不定積分が任意定数の不定性をもつためである. 注意が必用である.


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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14