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関数
に根号
を含む場合の
不定積分を考える.
変数変換
![$\displaystyle t=\sqrt[n]{ax+b}$](img2743.png) |
(926) |
とおき置換積分法で求積する.
両辺を
乗すると
![$\displaystyle x$](img2745.png) |
![$\displaystyle = \frac{t^n-b}{a}$](img2746.png) |
(927) |
を得る.またこれより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img2747.png) |
![$\displaystyle = \frac{n\,t^{n-1}}{a}$](img2748.png) |
(928) |
が成り立つ.よって
の不定積分は
![$\displaystyle \int f(x)\,dx$](img2750.png) |
![$\displaystyle = \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right) \frac{dx}{dt}\,dt= \frac{n}{a} \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right)t^{n-1}\,dt$](img2751.png) |
(929) |
より求められる.
例 6.28 (根号を含む場合の計算例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img2752.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-1}}$](img2753.png) |
(930) |
を考える.まず
![$\displaystyle t$](img2754.png) |
![$\displaystyle =\sqrt{x-1}$](img2755.png) |
(931) |
とおく.これより
![$\displaystyle x$](img2756.png) |
![$\displaystyle =t^2+1\,,\qquad \frac{dx}{dt}=2t$](img2757.png) |
(932) |
となる.よって置換積分法より
を得る.
関数
に
を
含む場合を考える.
このときまず
![$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}$](img2765.png) |
![$\displaystyle =t-\sqrt{a}\,x$](img2766.png) |
(936) |
とおく.両辺を二乗すれば
![$\displaystyle x$](img2767.png) |
![$\displaystyle = \frac{t^2-c}{b+\sqrt{a}\,t}$](img2768.png) |
(937) |
を得る.これより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img2769.png) |
![$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{a}\,t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(a+2\sqrt{a}\,t)^2}$](img2770.png) |
(938) |
となる.
このとき不定積分は
![$\displaystyle I$](img2771.png) |
![$\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int f\left(\frac{t^2-c}{b+\sqrt{a}\,t}\right) \frac{2(\sqrt{a}t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(b+2\sqrt{a}\,t)^2}\,dt$](img2772.png) |
(939) |
により求まる.
例 6.29 (根号を含む場合の計算例)
不定積分
![$\displaystyle I$](img2773.png) |
![$\displaystyle =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$](img2774.png) |
(940) |
を考える.
変数変換
![$\displaystyle \sqrt{x^2-1}$](img2775.png) |
![$\displaystyle =t-x$](img2776.png) |
(941) |
とおく.両辺を二乗すれば
![$\displaystyle x$](img2777.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( t+\frac{1}{t} \right)$](img2778.png) |
(942) |
を得る.これより
![$\displaystyle \frac{dx}{dt}$](img2779.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)$](img2780.png) |
(943) |
となる.
よって不定積分は
と求まる.またこの結果は
![$\displaystyle I$](img2784.png) |
![$\displaystyle = \mathrm{Cosh}^{-1}x+C$](img2785.png) |
(946) |
とも表される.
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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14