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有理関数
![$\displaystyle f(x)$](img2597.png) |
![$\displaystyle = \frac{a_{0}\,x^{N}+a_1\,x^{N-1}+\cdots+a_{N}} {b_{0}\,x^{M}+b_{1}\,x^{M-1}+\cdots+b_{M}}\, \qquad (N,M\in\mathbb{N})$](img2598.png) |
(852) |
の不定積分
![$\displaystyle I$](img2599.png) |
![$\displaystyle =\int f(x)\,dx$](img2600.png) |
(853) |
を考える.
任意の有理関数は積分可能である.
Step 1 (分子を分母で割る)
分子の次数
が分母の次数
以上のときは
まず割り算を行い,
とする.
このとき多項式の部分は必ず積分が可能である.
よって以後では分子の次数
は分母の次数
より小さい(
)とする.
例 6.17 (分子の次数を分母の次数より小さくする)
分子の次数が分母の次数以上の場合はまず
分子を分母で割り,
![$\displaystyle f(x)$](img2610.png) |
![$\displaystyle = \frac{x^3+4x^2+2x+1}{x^2+3}= x+4-\frac{x-11}{x^2+3}$](img2611.png) |
(855) |
のように変形する.
この式に対して積分すると
![$\displaystyle I$](img2612.png) |
![$\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int (x+4)\,dx- \int\frac{x-11}{x^2+3}\,dx= \frac{x^2}{2}+4x- \int\frac{x-11}{x^2+3}\,dx$](img2613.png) |
(856) |
となる.
多項式部分は積分される.
残るは有理式の積分である.
以後は
![$ N<M$](img2614.png)
となる有理関数の積分のみを考える.
Step 2 (分母を因数分解する)
有理式を
とする.
分母の多項式
を実数の範囲で因数分解する.
このとき
![$\displaystyle q(x)$](img2617.png) |
![$\displaystyle = (x+b_{1})^{m_1}(x+b_{2})^{m_2}\cdots (x^2+c_{i}\,x+d_{i})^{m_{i}} (x^2+c_{i+1}\,x+d_{i+1})^{m_{i+1}}\cdots$](img2618.png) |
(857) |
と表される.
は重複度である.
2次式の判別式は負である.
Step 3 (部分分数分解する)
有理式
を
部分分数分解する.
すなわち
と変形する.
例 6.19 (部分分数展開の具体例)
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img2632.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$](img2633.png) |
(865) |
とする.
通分して同じ次数でまとめると
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img2634.png) |
![$\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(B+C-A)x+C}{x^3+1}$](img2635.png) |
(866) |
となる.よって係数は
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$](img2636.png) |
(867) |
を満足しなければならない.
これを解くと
![$\displaystyle A$](img2637.png) |
![$\displaystyle =\frac{1}{3}\,,\qquad B=-\frac{1}{3}\,,\qquad C=\frac{2}{3}$](img2638.png) |
(868) |
となる.
よって部分分数分解は
![$\displaystyle \frac{1}{x^3+1}$](img2639.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{1}{3(x+1)}- \frac{x-2}{3(x^2-x+1)}$](img2640.png) |
(869) |
と表される.
問 6.20 (部分分数展開の計算例)
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^4-x^3+x+1}$](img2641.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+x+1}$](img2642.png) |
(870) |
とする.
係数
![$ A$](img2643.png)
,
![$ B$](img2644.png)
,
![$ C$](img2645.png)
,
![$ D$](img2646.png)
を定めよ.
問 6.21 (部分分数展開の計算例)
部分分数分解として
![$\displaystyle \frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+ \frac{D}{x+1}+ \frac{Ex+F}{x^2+1}+ \frac{Gx+H}{(x^2+1)^2}$](img2647.png) |
(871) |
とする.
係数
![$ A$](img2648.png)
,
![$ B$](img2649.png)
,
![$ C$](img2650.png)
,
![$ D$](img2651.png)
,
![$ E$](img2652.png)
,
![$ F$](img2653.png)
,
![$ G$](img2654.png)
,
![$ H$](img2655.png)
を定めよ.
例 6.22 (部分分数展開の具体例)
![$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B\,x+C}{x^2-x+1}$](img2656.png) |
![$\displaystyle = \frac{(A+B)x^2+(-A+B+C)\,x+(A+C)} {(x+1)(x^2-x+1)}$](img2657.png) |
(872) |
より
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}...
...n{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -11 \end{bmatrix}$](img2658.png) |
(873) |
となり
![$\displaystyle A$](img2659.png) |
![$\displaystyle =-4\,,\qquad B=4\,,\qquad C=7$](img2660.png) |
(874) |
を得る.よって
![$\displaystyle \frac{x-11}{x^3+1}$](img2661.png) |
![$\displaystyle = \frac{-4}{x+1}+ \frac{4x+7}{x^2-x+1}$](img2662.png) |
(875) |
となる.
例 6.23 (部分分数展開の具体例)
より
![$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix...
...gin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$](img2666.png) |
(878) |
である.解くと
![$\displaystyle A$](img2667.png) |
![$\displaystyle =-\frac{1}{2}\,,\quad B=\frac{2}{3}\,,\quad C=-\frac{1}{6}$](img2668.png) |
(879) |
となる.よって
![$\displaystyle f(x)$](img2669.png) |
![$\displaystyle = -\frac{1}{2x}+ \frac{2}{3(x-1)}- \frac{1}{6(x+2)}$](img2670.png) |
(880) |
を得る.
Step 4 (部分分数ごとに積分する)
部分分数ごとに積分を行う.
すなわち
を計算する.
それぞれの場合ごとに積分を考える.
まず,
分母の因子が
次式の場合の積分を行なう.
すると
![$\displaystyle \int\frac{dx}{(x+b)^{m}}$](img2677.png) |
![$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \log\vert x+b\vert+C & (m=1)\\ [2ex] \displaystyle{\frac{-1}{m-1}\frac{1}{(x+b)^{m-1}}+C} & (m\ge2) \end{array}\right.$](img2678.png) |
(885) |
を得る.
次に,
分母の因子が
次式の場合の積分を行なう.
次式の判別式が負であることに注意すると
![$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx = \int\frac{A\,x+B}{\left( \left(x+\frac{c}{2}\right)^2+ \left(d-\frac{c^2}{4}\right)\right)^m}\,dx$](img2681.png) |
(886) |
と表される.
ここで
,
,
とおく.
すると
![$\displaystyle \int\frac{A\,x+B}{(x^2+c\,x+d)^{m}}\,dx= \int\frac{A\,x+B} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx$](img2685.png) |
(887) |
と表される.この形から積分を進める.
さらに式変形すると
となる.
ここで
![$\displaystyle I_{m}$](img2689.png) |
![$\displaystyle = \int \frac{2(x-a)} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx\,, \qquad J_{m}= \int \frac{dx} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}$](img2690.png) |
(891) |
とおく.
第一項目の積分
は
![$\displaystyle I_{m}$](img2692.png) |
![$\displaystyle = \int \frac{((x-a)^2+b^2)'} {\left((x-a)^2+b^2\right)^m}\,dx= \l...
...-1}{m-1} \frac{1}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}+C} & (m>1) \end{array}\right.$](img2693.png) |
(892) |
と求まる.
第二項目の積分
を計算する.
のとき
となる.
のときは漸化式
![$\displaystyle J_{m}$](img2700.png) |
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right) \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^2} \frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$](img2701.png) |
(895) |
より
が定まる.
これを示す.
置換積分を用いると
![$\displaystyle J_{m}$](img2703.png) |
![$\displaystyle = \int\frac{dx}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m}}= \frac{1}{b^{2m-1}}...
...rac{x-a}{b}\right)^2\right)^m}\,dx= \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^m}$](img2704.png) |
(896) |
となる.ここで
とおいた.
式変形すると
![$\displaystyle J_{m}$](img2706.png) |
![$\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{(1+t^2)-t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$](img2707.png) |
(897) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{dt}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int\frac{t^2}{(1+t^2)^m}\,dt$](img2708.png) |
(898) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\times\frac{t}{(1+t^2)^{m}}\,dt$](img2709.png) |
(899) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}- \frac{1}{b^{2m-1}} \int t\left(\frac{-1}{2(m-1)}\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$](img2710.png) |
(900) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \int t\left(\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\right)'\,dt$](img2711.png) |
(901) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}} \left\{ \frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \int\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}\,dt\right\}$](img2712.png) |
(902) |
|
![$\displaystyle = \frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}- \frac{J_{m-1}}{2(m-1)b^{2}}$](img2713.png) |
(903) |
|
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2m-1}}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}$](img2714.png) |
(904) |
|
![$\displaystyle = \left(\frac{2m-3}{2m-2}\right)\frac{J_{m-1}}{b^2}+ \frac{1}{2(m-1)b^{2}}\frac{x-a}{\left((x-a)^2+b^2\right)^{m-1}}$](img2715.png) |
(905) |
となり漸化式を得る.
例 6.25 (部分分数を積分する具体例)
![$\displaystyle \int\frac{dx}{x^3+1}$](img2721.png) |
![$\displaystyle = \int\left( \frac{1}{3(x+1)}-\frac{x-2}{3(x^2-x+1)} \right)\,dx$](img2722.png) |
(910) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{3} \int\frac{dx}{x+1}- \frac{1}{3} \int\frac{x-2}{x^2-x+1}$](img2723.png) |
(911) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{3} \int\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$](img2724.png) |
(912) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{3} \int\frac{\left(x-\f...
...}{4}}\,dx+ \frac{1}{2} \int\frac{dx} {\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$](img2725.png) |
(913) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{6} \int\frac{\left(\lef...
...eft(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'} {1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\,dx$](img2726.png) |
(914) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{3}\log\vert x+1\vert- \frac{1}{6}\log\left\vert \left(...
...\vert+ \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$](img2727.png) |
(915) |
|
![$\displaystyle = \frac{1}{6}\log\left\vert \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}\right\vert+ \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\,.$](img2728.png) |
(916) |
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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14