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13 定積分の計算
定理 6.43 (置換積分) 積分変数をと置き換えると定積分は
(987)
と表される.
例 6.44 (置換積分の計算例)
(988) (989)
ここでとおいた.このとき
(990)
であることを用いた. また積分区間はから
へと変わる.
定理 6.45 (部分積分)
(991)
例 6.46 (部分積分の計算例)
(992) (993) (994)
定理 6.47 (偶関数,奇関数の定積分) 関数が偶関数のとき
(995)
関数が奇関数のとき
(996)
問 6.48 (三角関数の定積分) 自然数に対して
(997) (998) (999) (1000) (1001)
となることを示せ(ヒント:積和の公式). ただし,はクロネッカーのデルタ(Kronecker's delta) である.
例 6.50 (双曲線関数を用いた定積分) 定積分
(1004)
を考える. 積分区間がであるから
である. このことに注意して変数変換を
(1005)
とする.このとき積分区間は
(1006)
となる.また
(1007)
であることを用いると
(1008) (積分区間をひっくり返す. を用いて.)
(1009) (1010) ( のとき
より.)
(1011) (1012) ( を用いて.)
(1013) (1014) (1015)
となる.ここで
(1016)
であることを用いる.このとき
(1017) (1018) (1019) (1020)
より
(1021) (1022)
となる.また
(1023) (1024)
である.よって
(1025)
を得る.
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Created at 2004/08/14