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15 曲線の長さ
定理 6.53 (曲線の長さ) 区間における関数
のグラフの曲線の長さは
(1039)
により得られる.
注意 6.54 (曲線の長さ) 曲線のうちある点
のまわりの微小線分を
とする. このとき
を斜辺とする直角三角形を考える. その他の辺の長さを
,
とするとピタゴラスの定理より
(1040)
が成り立つ. 数学的には厳密ではないが次の展開をすると微小線分は
(1041)
と表される. 曲線の長さは微小線分
を全て足し合わせたものだから
(1042)
となる.
例 6.55 (曲線の長さの計算例) 単位円の円周の長さを考える.より
だから 多価関数の枝を分けて
(1043)
とする.このとき
(1044)
が成り立つ.よって
(1045) (1046)
を得る.
例 6.56 (曲線の長さの計算例)における曲線
の長さ考える.
であるから曲線の長さ
は
(1047)
と表される.積分を計算する.置換積分として
(1048)
とおく.すると
(1049)
となる.双曲線関数の性質
(1050)
を用いると
(1051)
となる.
(1052)
を用いると
(1053) (1054) (1055)
となる.ここで
(1056)
であることを用いると
(1057) (1058) (1059) (1060)
を得る.
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Created at 2004/08/14