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19 級数と定積分

例 6.73 (調和級数と定積分)   曲線 $ \displaystyle{y=\frac{1}{x}}$ の面積を考える. 範囲が $ 1\leq x\leq n+1$ のときの面積を $ S_{n}$ とする. また, 幅が $ 1$ で高さが $ \displaystyle{\frac{1}{k}}$ の 長方形の面積を $ k=1,2,3,\cdots n$ まで足合わせたものを $ T_{n}$ とする. このときグラフを書けば明らかに

$\displaystyle S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{n} > \int_{0}^{n+1}\frac{dx}{x}= \log(n+1)=T_{n}$ (1091)

が成り立つ. よって $ n\to\infty$ のとき

$\displaystyle S$ $\displaystyle =\lim_{n\to\infty}S_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\,,\quad T=\lim_{n\to\infty}\log(n+1)=\infty$ (1092)

である. $ S>T$ であるから, 調和級数 $ S$ は発散する.

例 6.74 (発散する級数と定積分)  

$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}= 1+ \frac{1}{\sqrt{2}}+ ...
...c{1}{\sqrt{n}}+\cdots \quad>\quad T=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{n}}=\infty$ (1093)

である. よって級数 $ \displaystyle{S=\sum\frac{1}{\sqrt{n}}}$ は発散する.

例 6.75 (収束する級数と定積分)  

$\displaystyle 1=\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} \quad<\quad S=1+ \frac{1}{2^2}...
...s+ \frac{1}{n^2}+ \cdots \quad<\quad 1+ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{(x-1)^2} =2$ (1094)

が成り立つ. $ 1<S<2$ であるから $ \displaystyle{S=\sum\frac{1}{n^2}}$ は収束する.

問 6.76 (級数の収束)  

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = \left\{ \begin{array}{cl} \text{発散} & (0\leq p\leq 1)\\ [1ex] \text{収束} & (p>1) \end{array} \right.$ (1095)

となることを示せ.



Kondo Koichi
Created at 2004/08/14