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20 点と直線との距離
定義 1.87 (点と直線との距離)空間内の点
と直線
を考える. 点
と
上の点
との距離が最小となるとき, その距離を点と直線との距離という.
定理 1.88 (点と直線との距離)空間内の 点
と直線
を考える. 点
と
上の点
との距離が最小となるのは, 直線
と直線
が直交するときである.
問 1.89 (点と直線との距離) これを示せ.(証明) 点
,
とする. 点
を直線
上の点とする. すなわち
とおく. 点
と
の距離を考える.
(118) (119) (120) (121)
よりのとき 最小値
(122)
をとる. このとき
(123) (124)
が成り立つ.と
とは直交する.
は直線
の方向ベクトルであり,
は直線
の方向ベクトルである. よって距離が最小になるとき直線
と直線
は直交する.
定理 1.90 (点と直線の距離)空間内の 点
と直線
との距離は
(125)
である.
定理 1.91 (点と直線の距離)空間内の 点
と直線
との距離は
(126)
である.
問 1.92 (内の点と直線の距離) これを示せ.
(証明) 距離
は
(127) (128)
となる. ここで
(129)
を用いると
(130)
となり定理を得る.
例 1.93 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との 距離を考える. 点
から直線への射影した点を
とする.
(131)
であるから,
(132) (133)
より,
(134)
である.点と点
との距離が 点
と直線の距離であるから,
(135)
より
(136)
である.
例 1.94 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との 距離を考える.
(137)
であるから,距離は
(138)
である.
例 1.95 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との 距離を考える.
(139)
より,距離は
(140)
である.
定理 1.96 (内の点と直線の距離)
空間内の点
と 直線
との距離は
(141)
である.
問 1.97 (内の点と直線の距離) これを示せ.
(証明)
空間を
空間内の部分空間として考える. このとき,点
と直線
を考える.
(142)
とおくと
(143) (144) (145)
である.よって距離は
(146)
である.
問 1.98 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との距離は
(147)
である.
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Created at 2004/11/26