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21 平面の方程式
定義 1.99 (平面)空間内の点
の位置ベクトルが
(148)
と表されるとき, 点の軌跡を平面(plane)という.
,
を方向ベクトル(tangent vector)という.
例 1.100 (平面の具体例)
(149)
とおく.このとき平面
(150)
を考える. 位置ベクトルは点
を表す.
,
は任意の実数なので 点の軌跡は
空間全体をなす. よって
は平面である.
例 1.101 (の平面の具体例) 点
,
,
を 通る平面を考える. 点
を通り 方向ベクトルが
,
の平面と考える.
(151) (152)
とする. 平面の方程式のパラメータ表示は
(153)
である.
定理 1.102 (平面の方程式)空間内の平面上の点
の位置ベクトルは
(154)
と表される.は方向ベクトル
,
と 直交するベクトルである.
を法線ベクトル(normal vector)という.
(証明)
,
である. このとき
(155)
が成り立つ.
注意 1.103 (の平面の方程式)
空間内の平面の方程式を考える. まず,
(156)
とおく.すると方程式
(157)
が成り立つ.,
は任意のパラメータであるから消去して方程式とする. 第一式と第二式の
を消去し
についてまとめると
(158)
が得られる. 他の組合せでも同じ方程式を得る. この方程式は
(159)
とおくとが成り立つ. また,
(160)
と表される. さらにはとおいて変形すれば
(161)
である. これらはの平面の方程式の成分表示である. ベクトル
は
(162) (163)
より,方向ベクトル,
とそれぞれ直交する.
は法線ベクトルである. また, ベクトル
は
により与えられることに注意する.
例 1.104 (の平面の方程式の具体例)
内の平面の方程式
を考える. 法線ベクトルは
である.
例 1.105 (の平面の方程式の具体例) 点
,
,
を 通る平面を考える. 点
を通り 方向ベクトルが
,
の平面と考える.
(164)
とする. このとき法線ベクトルは
(165) (166)
である. 平面の方程式の成分表示は
(167)
より
(168)
であるから
(169)
を得る.また変形して
(170)
を得る.
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Created at 2004/11/26