5 行列式の行に関する性質

定理 4.42 (行列式の行に関する性質) 行列式は次の性質もつ．

(1)

成分を除いて列目が全て 0 の場合は行列式のサイズが一つ下がる．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ 0... ...{2n} \\ \vdots\! & & \!\vdots \\ a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(650)

(2)

第行目の要素全てが共通因子 $\alpha$ をもつとき， $\alpha$ は行列式の外へ．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ \... ...s\! & & \!\vdots \\ a_{n1}\! & \!a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(651)

(3)

第行が二つのベクトルの和で表されるとき，行列式の和に分解される．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ \... ...s\! & & \!\vdots \\ a_{n1}\! & \!a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(652)

(4)

第行と第行を入れ替えると行列式の符合が反転する．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ \... ...s\! & & \!\vdots \\ a_{n1}\! & \!a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(653)

(5)

同じ行があるときは行列式は 0 となる．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ \... ... & & \!\vdots \\ a_{n1}\! & \!a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix} =0$

(654)

(6)

第行を $\alpha$ 倍して第行に加えても行列式は等しい．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!a_{12}\! & \!\cdots\! & \!a_{1n} \\ \... ...s\! & & \!\vdots \\ a_{n1}\! & \!a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(655)