15 1 次独立なベクトルの最大個数

定義 1.64 (ベクトルの 1 次独立な最大個数)   ベクトルの集合 $X$ が， ある $r$ 個のベクトルでは 1 次独立となり， 任意の $r+1$ 個のベクトルでは 1 次従属となるとき， $r$ を集合 $X$ の 1 次独立なベクトルの最大個数という．

例 1.65 (ベクトルの 1 次独立な最大個数の具体例)   $\mathbb{R}^{n}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $n$ である．

（証明）     $n=2$ のときを考える． まず明らかに $\vec{e}_1,\vec{e}_2\in\mathbb{R}^2$ は 1 次独立であるので， 1 次独立なベクトルの最大個数は 2 以上である． ここで，3 個のベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} =a_{1}\vec{e... ...{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} =c_{1}\vec{e}_1+c_{2}\vec{e}_2 \quad \in\mathbb{R}^2$$

を 1 次独立と仮定する． このとき 1 次関係

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}$$

を考える． これより

$$(\alpha a_1+\beta b_1+\gamma c_1)\vec{e}_1+$$

$$(\alpha a_2+\beta b_2+\gamma c_2)\vec{e}_2 =\vec{0}$$

$$\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta b_1+\gamma c_1 \\ \alpha a_2+\beta b_2+\gamma c_2 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

$$\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} =\vec{0}$$

となる． 係数行列の階数は $2$ 以下であるから $(\alpha,\beta,\gamma)$ は任意定数を含む解であり， 1 次関係は非自明係数となる． よって， $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は 1 次従属である． 以上より， $\mathbb{R}^2$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $2$ である．

$n\ge3$ のときも同様に示される．

定理 1.66 (簡約化行列の 1 次関係)   行列

$$A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$$

を簡約化した行列を

$$B= \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$$

とする． このとき $A$ の列ベクトル $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と $B$ の列ベクトル $\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係とは等価である．

（証明）     行列 $A$ を簡約化して $B$ となるとき， 基本変形を表す行列 $P$ を用いて

$$B=PA$$

と表される． これは

$$\begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P\vec{a}_{1} & P\vec{a}_{2} & \cdots & P\vec{a}_{n} \end{bmatrix}$$

となるので，各列ベクトルは

$$\vec{b}_j=P\vec{a}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$$

と表される．また $P$ は正則行列であるから，

$$\vec{a}_j=P^{-1}\vec{b}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$$

とも表される． ここで $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係を

$$c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ \cdots+ c_n\vec{a}_n =\vec{0}$$

とする．これより，

$$c_1P^{-1}\vec{b}_1+ c_2P^{-1}\vec{b}_2+ \cdots+ c_nP^{-1}\vec{b}_n =\vec{0}$$

$$P^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n) =\vec{0}$$

$$PP^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n) =P\vec{0}$$

$$c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n =\vec{0}$$

を得る． これは $\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係であり， $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と 等しい．

例 1.67 (ベクトルの 1 次独立な最大個数の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \... ...\vec{a}_5= \begin{bmatrix}1 \\ -4 \\ 7 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \in\mathbb{R}^4$$

の 1 次独立なベクトルの最大個数と そのときベクトルの組の一つを求める． また，その他のベクトルを 1 次独立なベクトルの 1 次結合で表す．

ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係

$$c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ c_3\vec{a}_3+ c_4\vec{a}_4+ c_5\vec{a}_5 =\vec{0}$$

を考える．これは

$$\begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 & \vec{a}_4 & \v... ... \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} =A\vec{c}=\vec{0}$$

と表される． 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解を求めることで， 1 次関係の係数 $\vec{c}$ が定まる． 行列 $A$ を簡約化すると

$$A\to B= \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \... ...bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 & \vec{b}_4 & \vec{b}_5 \end{bmatrix}$$

となる． 方程式 $B\vec{x}=\vec{0}$ の解もまた $\vec{c}$ となる． なすわち， ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係と ベクトル $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次関係

$$c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ c_3\vec{b}_3+ c_4\vec{b}_4+ c_5\vec{b}_5 =\vec{0}$$

は同じものである． まず， $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次独立なベクトルの最大個数を考える． $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ に着目すると，

$$\vec{b}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}=\vec{e}_... ...e}_2, \qquad \vec{b}_4= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\vec{e}_3$$

であり， $\mathbb{R}^4$ の基本ベクトルである． 明らかにこれらは 1 次独立であるので， 1 次独立なベクトルの最大個数は少なくとも $3$ である． 他のベクトル $\vec{b}_3,\vec{b}_5$ について見ると

$$\vec{b}_3= \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = -\vec{e}_1+2\vec{e}_2 = -\vec{b}_1+2\vec{b}_2,$$

$$\vec{b}_5= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 2\vec{e}_1-\vec{e}_2+\vec{e}_3 = 2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4$$

である．$b_3,b_5$ は 1 次従属である． よってベクトル $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $r=3=\mathrm{rank}\,A$ であり， その 1 次独立なベクトルの組の一つは $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ である． またその他のベクトルは

$$\vec{b}_3=-\vec{b}_1+\vec{b}_2, \qquad \vec{b}_5=2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4$$

と 1 次結合で表される． これらの結果は ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係にも適用される． 1 次独立なベクトルの最大個数は $r=\mathrm{rank}\,A=3$ であり， そのベクトルの組は $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4$ である． また，その他のベクトルは

$$\vec{a}_3=-\vec{a}_1+\vec{a}_2, \qquad \vec{a}_5=2\vec{a}_1-\vec{a}_2+\vec{a}_4$$

が成り立つ．

定理 1.68 (行列の列ベクトルと行ベクトルの 1 次独立な最大個数)  

$$\mathrm{rank}\,(A) = A$$

$$= A$$

定理 1.69 (行列と 1 次独立性)   正方行列 $A:n\times n$ に対して次の関係が成り立つ：

$$A n$$

$$\Leftrightarrow A n$$

$$\Leftrightarrow A A$$

$$\Leftrightarrow \quad\mathrm{rank}\,(A)=n$$

$$\Leftrightarrow \quad\det(A)\neq0$$

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13