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19 次元
定理 1.84 (ベクトル空間の基底の個数) ベクトル空間の基底の個数は取り方に依らず一意に定まる. その個数は, ベクトル空間に含まれる 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい.
定義 1.85 (次元) ベクトル空間の基底の個数が
個であるとき, これをベクトル空間
の次元(dimension)と呼び,
と表記する.
例 1.86 (ベクトル空間の次元の具体例)は標準基底
を 用いて
と表されるので,次元は
となる.
定理 1.87 (ベクトル空間の次元と階数) 部分空間
の次元は
である.
定理 1.88 (部分空間の次元) ベクトル空間,
が
であるとき,
が成り立つ.
例 1.89 (部分空間の次元の具体例) ベクトル
を用いて生成される部分空間
の次元を求める.(1)
の基底は
である.よって
となる.は原点
と点
を通る直線である.
(2)
の基底をまず求める.
,
が 1 次独立であるか調べる.
であるから,であり,
,
は 1 次独立となる. よって
の基底は
であり,
を得る.は原点
と点
,
を通る平面である.
(3)
の基底をまず求める.
が 1 次独立であるか調べる.
であるから,であり,
,
,
は 1 次独立となる. よって
の基底は
であり,
を得る.は 3 本の軸がそれぞれ 点
,
,
を 通る 3 次元空間である.
(4)
の基底をまず求める.
が 1 次独立であるか調べる.
であるから,であり,
,
,
は 1 次従属となる. 最大個数となる 1 次独立なベクトルは
であり, その他のベクトルは
と表される. よって
の基底は
であり,
となる.以上より
を得る.は平面
と等しい. 点
は平面
に含まれる点であるためである.
(5)
の基底をまず求める.
が 1 次独立であるか調べる.
であるから,であり,
,
,
,
は 1 次従属となる. 最大個数となる 1 次独立なベクトルは
であり, その他のベクトルは
と表される. よって
の基底は
であり,
となる.以上より
を得る.は
と等しい.
であるから,
となることを注意する.
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Created at 2004/12/13