19 次元

定理 1.84 (ベクトル空間の基底の個数)   ベクトル空間の基底の個数は取り方に依らず一意に定まる． その個数は， ベクトル空間に含まれる 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい．

定義 1.85 (次元)   ベクトル空間 $V$の基底の個数が $n$ 個であるとき， これをベクトル空間 $V$ の次元（dimension）と呼び，

$$\dim(V)=n$$

と表記する．

例 1.86 (ベクトル空間の次元の具体例)   $\mathbb{R}^n$ は標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\}$ を 用いて

$$\mathbb{R}^n= <\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}>$$

と表されるので，次元は

$$\dim\mathbb{R}^n=n$$

となる．

定理 1.87 (ベクトル空間の次元と階数)   部分空間

$$W=<\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}>$$

の次元は

$$\dim(W)=\mathrm{rank}\,A, \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2}& \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}$$

である．

定理 1.88 (部分空間の次元)   ベクトル空間 $V$, $W$ が

$$V\supset W$$

であるとき，

$$\dim V \geq \dim W$$

が成り立つ．

例 1.89 (部分空間の次元の具体例)   ベクトル

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \vec{u}... ...trix},\quad \vec{u}_5= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$$

を用いて生成される部分空間

$$W_{1}=<\vec{u}_1>, \quad W_{2}=<\vec{u}_1,\vec{u}_2>, \quad W_{3}=<\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3>,$$

$$W_{4}=<\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_4>, \quad W_{5}=<\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_5>$$

の次元を求める．

(1) $W_1$ の基底は $\{\vec{u}_1\}$ である．よって

$$\dim W_1=1$$

となる．$W_1$ は原点 $O(\vec{0})$ と点 $P(\vec{u}_1)$ を通る直線である．

(2) $W_2$ の基底をまず求める． $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_2= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{... ...xrightarrow{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,A_2=2$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ は 1 次独立となる． よって $W_2$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり，

$$\dim W_2=\mathrm{rank}\,A_{2}=2$$

を得る． $W_2$ は原点 $O(\vec{0})$ と点 $P_1(\vec{u}_1)$, $P_2(\vec{u}_2)$ を通る平面である．

(3) $W_3$ の基底をまず求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_3= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{bmatri... ...w{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,A_3=3$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$ は 1 次独立となる． よって $W_3$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり，

$$\dim W_3=\mathrm{rank}\,A_3=3$$

を得る． $W_3$ は 3 本の軸がそれぞれ 点 $P_{1}(\vec{u}_1)$, $P_2(\vec{u}_2)$, $P_3(\vec{u}_3)$ を 通る 3 次元空間である．

(4) $W_4$ の基底をまず求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_4$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_4= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_4 \end{bmatri... ...\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,A_4=2<3$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_4$ は 1 次従属となる． 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり， その他のベクトルは $\vec{u}_4=\vec{u}_{1}-\vec{u}_2$ と表される． よって $W_4$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり，

$$W_4 = <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_4>= \left\{ \alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma\vec{u}_4 \,\vert\,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\right\}$$

$$= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_1-\vec{u}_2>= \left\{ \alpha\vec{u... ...2+\gamma(\vec{u}_1-\vec{u}_2) \,\vert\,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\right\}$$

$$= \left\{ (\alpha+\gamma)\vec{u}_1+(\beta-\gamma)\vec{u}_2 \,\ver... ...de{\beta}\vec{u}_2 \,\right\vert\,\tilde\alpha,\tilde\beta\in\mathbb{R}\right\}$$

$$=<\vec{u}_1,\vec{u}_2>=W_2$$

となる．以上より

$$\dim W_4=\mathrm{rank}\,A_4=2$$

を得る． $W_4$ は平面 $W_2$ と等しい． 点 $P_4(\vec{u}_4)$ は平面 $W_2$ に含まれる点であるためである．

(5) $W_5$ の基底をまず求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_5$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_5= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 & \vec{u}_5... ...\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,A_5=3<4$ であり， $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$, $\vec{u}_5$ は 1 次従属となる． 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり， その他のベクトルは $\vec{u}_5=(\vec{u}_{1}+\vec{u}_2+\vec{u}_3)/2$ と表される． よって $W_5$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり，

$$W_5 = <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_5> = \left\{ \alpha\vec{... ...c{u}_3+\delta\vec{u}_5 \,\vert\,\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\right\}$$

$$= \left< \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3, \frac{1}{2}\vec{u}_{1}+\frac{1}{2}\vec{u}_2+\frac{1}{2}\vec{u}_3 \right>$$

$$= \left\{ \left. \alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma\vec{u}_3+\... ...vec{u}_3 \right) \,\right\vert\,\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\right\}$$

$$= \left\{ \left. \left(\alpha+\frac{\delta}{2}\right)\vec{u}_1+ \... ...\right)\vec{u}_3 \,\right\vert\,\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\right\}$$

$$= \left\{ \left. \tilde{\alpha}\vec{u}_1+ \tilde{\beta}\vec{u}_2+... ...{u}_3 \,\right\vert\,\tilde\alpha,\tilde\beta,\tilde\gamma\in\mathbb{R}\right\}$$

$$=<\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3>=W_3$$

となる．以上より

$$\dim W_5=\mathrm{rank}\,A_5=3$$

を得る． $W_5$ は $W_3$ と等しい． $W_5\subset\mathbb{R}^3$ であるから，

$$\dim W_5\leq\dim\mathbb{R}^3=3$$

となることを注意する．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13