18 基底

例 1.81 (基底の具体例) $\mathbb{R}^n$ は基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ を用いて

$\displaystyle \mathbb{R}^n= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n>$

と表される．また，基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ は 1 次独立であるから，

$\displaystyle \{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n \}$

は $\mathbb{R}^n$ の基底である．これを $\mathbb{R}^n$ の標準基底（standard basis）という．

例 1.83 (基底の具体例) $\mathbb{R}^2$ の基底を考える． $\mathbb{R}^2$ は標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ をもち，

$\displaystyle \mathbb{R}^2=<\vec{e}_1,\vec{e}_2>$

と表される．他の基底を考える．例えば，

$\displaystyle \vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$

は基底となり得るか調べる．まず，

$\displaystyle P= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{bm... ...atrix}, \qquad \det(P)= \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq0$

であるから， $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ は 1 次独立である．次に，

$\displaystyle \mathbb{R}^2=<\vec{u}_1,\vec{u}_2>$

となるか調べる．すなわち $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $\vec{x}$ に対して

$\displaystyle \vec{x}=y_1\vec{u}_1+y_2\vec{u}_2$

をみたす

が一意に定まるか調べる．この式を書き換えると

$\displaystyle \vec{x}$	$\displaystyle =y_1\vec{u}_1+y_2\vec{u}_2$
$\displaystyle \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$	$\displaystyle = y_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} + y_2 \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$
$\displaystyle \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$
$\displaystyle \vec{x}$	$\displaystyle =P\vec{y}$

となる．これは $\vec{y}$ についての非同次連立方程式 $P\vec{y}=\vec{x}$ である． $\det(P)\neq0$ より

は正則であるから

$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \vec{y}=P^{-1}\vec{x}= ... ...frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

であり，

$\displaystyle y_1=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2, \qquad y_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2$

となる．

は任意の

に対して一意に定まる．よって， $\mathbb{R}^2=<\vec{u}_1,\vec{u}_2>$ が成り立つ．以上より

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$

は $\mathbb{R}^2$ の基底である．