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17 ベクトルで張られる空間
定義 1.76 (ベクトルによって生成される空間) ベクトルの 線形結合全体の集合を
と定義する. この集合を ベクトルに よって生成される(張られる)空間という.
定理 1.77 (ベクトルにより生成される空間と部分空間) ベクトルにより生成される空間
はの部分空間である.
(証明)
の任意の 2 つのベクトルは
と表される. これらと任意のスカラーとの 線形結合は
となる.よっては部分空間である.
例 1.78 (ベクトルによって生成される空間の具体例) 基本ベクトルにより生成される空間
を考える.の任意のベクトルは
となる. 係数はすべての実数であるから, ベクトル
のなす集合は
と等しい. よって,
が成り立つ.
例 1.79 (ベクトルによって生成される空間の具体例) ベクトルにより生成される空間
を考える.の任意のベクトルは
である. 2 つのスカラーはすべての実数をとる. ここで
を新たな 2 つのスカラーと見なしてもよい. すなわち,任意の実数
を用いて
,
とおく. このとき,
と表される. ベクトル全体のなす集合は
と等しい. 以上より,
が成立する.
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Created at 2004/12/13