17 ベクトルで張られる空間

Next: 18 基底 Up: 1 ベクトル空間 Previous: 16 部分空間 Contents

17 ベクトルで張られる空間

定義 1.76 (ベクトルによって生成される空間) ベクトル $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n} \in V$ の線形結合全体の集合を

$\displaystyle \langle\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\rangle = \left\... ...dots+c_{n}\vec{u}_{n} \right\vert c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\in\mathbb{R}\right\}$

と定義する．この集合をベクトル $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}$ によって生成される（張られる）空間という．

定理 1.77 (ベクトルにより生成される空間と部分空間) ベクトルにより生成される空間

$\displaystyle W= \langle\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\rangle, \qquad \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n} \in V$

は

の部分空間である．

（証明）の任意の 2 つのベクトルは

$\displaystyle \vec{a}= a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+ \cdots+ a_n\vec{u}_n, \qquad \vec{b}= b_1\vec{u}_1+ b_2\vec{u}_2+ \cdots+ b_n\vec{u}_n$

と表される．これらと任意のスカラー $\alpha,\beta\in\mathbb{R}^2$ との線形結合は

$\displaystyle \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$	$\displaystyle = (\alpha a_1+\beta b_1)\vec{u}_1+ (\alpha a_2+\beta b_2)\vec{u}_2+ \cdots+ (\alpha a_n+\beta b_n)\vec{u}_n$
	$\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n \in W$

となる．よって

は部分空間である．

例 1.78 (ベクトルによって生成される空間の具体例) 基本ベクトル $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\in \mathbb{R}^{n}$ により生成される空間

$\displaystyle W=<\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n>$

を考える．

の任意のベクトルは

$\displaystyle x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ \cdots+ x_n\vec{e}_n = x_1 \begin{bma... ...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} =\vec{x}$

となる．係数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ はすべての実数であるから，ベクトル $\vec{x}$ のなす集合は $\mathbb{R}^n$ と等しい．よって，

$\displaystyle <\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n>=\mathbb{R}^{n}$

が成り立つ．

例 1.79 (ベクトルによって生成される空間の具体例) ベクトルにより生成される空間

$\displaystyle W= <\vec{u}_1,\vec{u}_2>= \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$

を考える．

の任意のベクトルは

$\displaystyle y_1\vec{u}_1+ y_2\vec{u}_2 = y_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatr... ...egin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix}$