22 解空間

定義 1.99 (解空間)   同次系 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$$W=\left\{ \vec{x}\,\vert\, A\vec{x}=\vec{0},\vec{x}\in\mathbb{R}^{n} \right\}$$

を解空間（solution space）という．

定理 1.100 (解空間と部分空間)   解空間 $W$ は $\mathbb{R}^{n}$ の部分空間である．

（証明）     $\vec{x},\vec{y}\in W$ とする． すなわち，$\vec{x}$, $\vec{y}$ は方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解であり，

$$A\vec{x}=\vec{0}, \qquad A\vec{y}=\vec{0}$$

をみたすとする． このとき，

$$A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})= \alpha(A\vec{x})+\beta(A\vec{y})= \alpha\vec{0}+\beta\vec{0}=\vec{0}$$

となるので $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}$ もまた解である． よって $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}\in W$ となり， $W$ は部分空間である．

注意 1.101 (非同次系の解空間)   非同次系 $A\vec{x}=\vec{b}(\neq\vec{0})$ の解空間 $W$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間ではない． なぜなら， $A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}$ より 非同次系は原点 $\vec{0}$ を解にもたない． よって $W$ は $\vec{0}$ を含まず，部分空間とはならない． つまり，

$$W\ni\vec{x},\vec{y},\quad \mathbb{R}\ni \alpha=0,\,\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}= 0\vec{x}+0\vec{y}=\vec{0}\not\in W$$

である．

定理 1.102 (解空間の次元)   同次系の解空間 $W$ の次元は一般解の任意定数の個数と等しく，

$$\dim(W)=n-\mathrm{rank}\,(A)$$

で与えられる．

定義 1.103 (一般解)   解空間 $W$ の基底 $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_k$ を 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の基本解という． このとき $W$ の任意のベクトルは 基本解の線形結合で

$$\vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$$

と表される． これを方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の一般解という．

例 1.104 (解空間の具体例)   解空間

$$W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^5 \left\vert\, \begin{array}{r} x_1-2x_2+x_3+2x_4+3x_5=0 \\ 2x_1-4x_2+3x_3+3x_4+8x_5=0 \end{array} \right. \right\}$$

を考える． 方程式を $A\vec{x}=\vec{0}$ とおく． $A$ を簡約化して

$$A\to B= \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

となる． これより，方程式は

$$x_{1}=2x_{2}-3x_4-x_5, \qquad x_{3}=x_4-2x_5$$

と書き換わる． $\mathrm{rank}\,A=2$ より任意定数の個数は $5-\mathrm{rank}\,A=3$ となり， 任意定数を $x_2=c_1,x_3=c_2,x_5=c_3\in\mathbb{R}$ とおく． よって一般解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}... ... \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3$$

と得られる． ここで $\vec{x}=\vec{a}_1$, $\vec{x}=\vec{a}_2$, $\vec{x}=\vec{a}_3$ は基本解である． 解空間は

$$W= \left\{ c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3 \,\left... ...c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R}\right. \right\}= <\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3>$$

となる． $W$ の基底を求める． $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ が 1 次独立であるか調べる． 1 次関係

$$c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3 =\vec{0}$$

より

$$\left. \begin{array}{r} 2c_1-3c_2-c_3=0 \\ c_1=0 \\ c_2-2c_3=0 \\ c_2=0 \\ c_3=0 \end{array}\right\}$$

となる． よって条件をみたすのは $c_1=0,c_2=0,c_3=0$ のときのみである． $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である． $W$ の基底は $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ となる． 以上より

$$\dim W=3$$

を得る． これは解の任意定数の個数に等しい．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13