24 ベクトル空間の和

定義 1.105 (ベクトル空間の和)   ベクトル空間 $U$, $V$ に対して

$$U+V= \left\{\vec{u}+\vec{v}\,\vert\,\vec{u}\in U, \vec{v}\in V\right\}$$

をベクトル空間の和という． 特に，

$$U\cap V=\{\vec{0}\}$$

のとき

$$U+V=U\oplus V$$

と表記し，直和という．

注意 1.106 (直和)   ベクトル空間 $U$, $V$, $W$ が

$$W=U\oplus V$$

であるとする． このとき，$W$ のあるベクトル $\vec{w}$ に対して，

$$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, \qquad \vec{u}\in U, \quad \vec{v}\in V$$

をみたす $\vec{u}$, $\vec{v}$ はただ一つ定まる．

定理 1.107 (ベクトル空間の和の次元)   ベクトル空間 $U$, $V$, $W$ が

$$W=U+V$$

をみたすとき，

$$\dim W\leq \dim U+\dim V$$

である．

$$W=U\oplus V$$

をみたすとき，

$$\dim W=\dim U+\dim V$$

である．

定理 1.108 (部分空間の共通部分)   ベクトル

$$\vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m$$

が 1 次独立であるとき， これらのベクトルで生成される空間

$$W_1=< \vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n>, \qquad W_2=< \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m>$$

の共通部分は

$$W_1\cap W_2=\{\vec{0}\}$$

となる．

（証明）     $W_1$ と $W_2$ の任意のベクトルは

$$W_1\ni \vec{a}= a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n, \qquad W_2\ni \vec{b}= b_1\vec{v}_1+ b_2\vec{v}_2+\cdots+ b_m\vec{v}_m$$

と表される． ここで， $\vec{a}$, $\vec{b}$ ともに $W_1\cap W_2$ のベクトルとする． すなわち， $\vec{a}=\vec{b}$ とする． このとき，

$$a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n = b_1\vec{v}_1+ b_2\vec{v}_2+\cdots+ b_m\vec{v}_m$$

$$a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n+ (-b_1)\vec{v}_1+ (-b_2)\vec{v}_2 +\cdots+ (-b_m)\vec{v}_m = \vec{0}$$

と 1 次関係を得る． ベクトル $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$, $\vec{v}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次独立なので 係数は

$$a_1=0,\quad a_2=0,\quad \cdots,\quad a_n=0,\quad b_1=0,\quad b_2=0,\quad \cdots,\quad b_m=0$$

と自明なものに限る． よって共通のベクトルは零ベクトル $\vec{a}=\vec{b}=\vec{0}$ に限る．

定理 1.109 (部分空間の共通部分)   ベクトル

$$\vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m, \vec{w}_1, \vec{w}_2, \cdots, \vec{w}_l$$

が 1 次独立であるとき， これらのベクトルで生成される空間

$$W_1=< \vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n, \vec{v}_1, \vec{v}... ...ec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m, \vec{w}_1, \vec{w}_2, \cdots, \vec{w}_l>$$

の共通部分は

$$W_1\cap W_2= <\vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m>$$

となる．

例 1.110 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間 $A$, $B$ の和を考える．

(1) 原点を通る直線 $A$ と平面 $B$ を考える． 直線 $A$ が原点以外で平面 $B$ と交わらないとき， $A\cap B=\{\vec{0}\}$ であり，

$$\mathbb{R}^3=A+B=A\oplus B, \qquad 3=\dim\mathbb{R}^3=\dim A+\dim B=1+2$$

が成り立つ． 直線 $A$ が平面 $B$ 上にあるとき， $A\subset B$ であるので，

$$A+B=B$$

が成り立つ．

(2) 原点を通る平面 $A$ と平面 $B$ を考える． $A\neq B$ であるとき $A$ と $B$ とが交わる点の集合は直線 $C$となる． $A\cap B=C\neq\{\vec{0}\}$ である． このとき，

$$\mathbb{R}^3=A+B, \qquad 3=\dim\mathbb{R}^3\leq \dim A+\dim B=2+2=4$$

が成り立つ． $A=B$ であるときは，

$$A+B=A=B$$

が成り立つ．

例 1.111 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の部分空間 $A$, $B$, $C$ の和を考える．

(1) 原点を通る直線 $A$, $B$ を考える． $A\neq B$ であるとき， $A\cap B=\{\vec{0}\}$ であるから，

$$\mathbb{R}^2=A+B=A\oplus B, \qquad 2=\dim\mathbb{R}^2=\dim A+\dim B=1+1$$

が成り立つ．

(2) 原点を通る直線 $A,B$ と平面 $C$ を考える． $A\subset C$, $B\subset C$ であり， $C=\mathbb{R}^2$ であるから，

$$\mathbb{R}^2=A+B+C$$

が成り立つ．

例 1.112 (ベクトル空間の和の具体例)   ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ を 1 次独立とする． これらで生成される部分空間

$$W_{1}=<\vec{u}_1,\vec{u}_2>, \quad W_{2}=<\vec{u}_2,\vec{u}_3>, \quad W_{3}=<\vec{u}_1>$$

を考える． これらの和は

$$W_{12} =W_1+W_2= <\vec{u}_1,\vec{u}_2>+ <\vec{u}_2,\vec{u}_3>= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_2,\vec{u}_3>= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3>,$$

$$W_{13} =W_1+W_3= <\vec{u}_1,\vec{u}_2>+<\vec{u}_1>= <\vec{u}_1,\vec{u}_1,\vec{u}_2>= <\vec{u}_1,\vec{u}_2>,$$

$$W_{23} =W_2+W_3= <\vec{u}_2,\vec{u}_3>+<\vec{u}_1>= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3>=W_{1}\oplus W_3,$$

$$W_{123} =W_1+W_2+W_3= <\vec{u}_1,\vec{u}_2>+ <\vec{u}_2,\vec{u}_3>+ <\vec{u}_1>$$

$$= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_1>= <\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3>$$

と表される．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13