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定義 1.127 (座標)
ベクトル空間
![$ V$](img1140.png)
とその基底を
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1141.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img1142.png)
,
![$ \cdots$](img1143.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1144.png)
とする.
このとき
![$ V$](img1145.png)
の任意の元
![$ \vec{a}$](img1146.png)
は
と表せる.
線形結合の係数の組
を基底
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1149.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img1150.png)
,
![$ \cdots$](img1151.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1152.png)
における
座標(coordinate)という.
注意 1.128 (列行列の成分)
任意の列ベクトルは
と表させるので,
列ベクトルの成分の組
![$ (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$](img1154.png)
は
標準基底
![$ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$](img1155.png)
における
座標と見なされる.
ベクトル空間
の任意のベクトル
を考える.
基底
,
,
,
のとき
とおく.
基底
,
,
,
のとき
とおく.
これらくベクトルは等しいので,
と表される.
ここで,
基底
,
,
,
に対する
基底
,
,
,
の
変換行列を
とおくとき,
が成り立つので,
を得る.
これより,
が成り立つ.
定義 1.129 (座標変換)
ベクトル
![$ \vec{a}$](img1187.png)
の
基底
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1188.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img1189.png)
,
![$ \cdots$](img1190.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1191.png)
に
おける座標を
![$ \vec{x}$](img1192.png)
とし,
基底
![$ \{\vec{u}'_{1}$](img1193.png)
,
![$ \vec{u}'_{2}$](img1194.png)
,
![$ \cdots$](img1195.png)
,
![$ \vec{u}'_{n}\}$](img1196.png)
に
おける座標を
![$ \vec{x}'$](img1197.png)
とする.
このとき
を
座標変換(coordinate transform)という.
ここで
![$ P$](img1202.png)
は
基底
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1203.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img1204.png)
,
![$ \cdots$](img1205.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1206.png)
に
対する
基底
![$ \{\vec{u}'_{1}$](img1207.png)
,
![$ \vec{u}'_{2}$](img1208.png)
,
![$ \cdots$](img1209.png)
,
![$ \vec{u}'_{n}\}$](img1210.png)
の
変換行列とする.
例 1.130 (座標変換の具体例)
点
![$ (1,0),(0,1),(1,1)\in\mathbb{R}^{2}$](img1211.png)
の
基底
における座標を求める.
与えられた点は標準基底
における座標なので
基底
![$ \Sigma$](img1214.png)
から基底
![$ \Sigma'$](img1215.png)
への座標変換を考える.
基底
![$ \Sigma$](img1216.png)
に対する基底
![$ \Sigma'$](img1217.png)
の変換行列を
![$ P$](img1218.png)
とおくと,
となる.
このとき座標変換は
と表される.
これを用いると
と表される.
よって
座標
![$ (1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$](img1225.png)
は
それぞれ
![$ (1/2,1/2)_{\Sigma'},(1/2,-1/2)_{\Sigma'},(0,1)_{\Sigma'}$](img1226.png)
となる.
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Kondo Koichi
Created at 2004/12/13