28 座標変換

定義 1.127 (座標)   ベクトル空間 $V$ とその基底を $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ とする． このとき $V$ の任意の元 $\vec{a}$ は

$$\vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}_{n}$$

と表せる． 線形結合の係数の組

$$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$$

を基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ における座標（coordinate）という．

注意 1.128 (列行列の成分)   任意の列ベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{e}_{n}$$

と表させるので， 列ベクトルの成分の組 $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ は 標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ における 座標と見なされる．

ベクトル空間 $V$ の任意のベクトル $\vec{a}$ を考える． 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ のとき

$$\vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}_{n}$$

とおく． 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ のとき

$$\vec{a}= x'_{1}\vec{u}'_{1}+ x'_{2}\vec{u}'_{2}+ \cdots+ x'_{n}\vec{u}'_{n}$$

とおく． これらくベクトルは等しいので，

$$x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}_{n} = x'_{1}\vec{u}'_{1}+ x'_{2}\vec{u}'_{2}+ \cdots+ x'_{n}\vec{u}'_{n},$$

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_... ...\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \\ \vdots \\ x'_{n} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n} \end{bmatrix} \vec{x}'$$

と表される． ここで， 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に対する 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ の 変換行列を $P$ とおくとき，

$$\begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n... ... \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}P$$

が成り立つので，

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix} P\vec{x}'$$

を得る． これより，

$$\vec{x}=P\vec{x}'$$

が成り立つ．

定義 1.129 (座標変換)   ベクトル $\vec{a}$ の 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に おける座標を $\vec{x}$ とし， 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ に おける座標を $\vec{x}'$ とする． このとき

$$\vec{x} =P\vec{x}',$$

$$\vec{x}' =P^{-1}\vec{x}$$

を座標変換（coordinate transform）という． ここで $P$ は 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に 対する 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ の 変換行列とする．

例 1.130 (座標変換の具体例)   点 $(1,0),(0,1),(1,1)\in\mathbb{R}^{2}$ の 基底

$$\Sigma'= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}= \{ \vec{u}_{1},\vec{u}_{2} \}$$

における座標を求める． 与えられた点は標準基底

$$\Sigma= \left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2} \right\}$$

における座標なので 基底 $\Sigma$ から基底 $\Sigma'$ への座標変換を考える． 基底 $\Sigma$ に対する基底 $\Sigma'$ の変換行列を $P$ とおくと，

$$P= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

となる． このとき座標変換は

$$\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \vec{x}=P\vec{x}'= \... ...ix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix},$$

$$\begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix}= \vec{x}'=P^{-1}\ve... ...{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$$

と表される． これを用いると

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} ... ...} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_{1}+\frac{1}{2}\vec{u}_{2},$$

$$\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} ... ... \\ \frac{-1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_{1}-\frac{1}{2}\vec{u}_{2},$$

$$\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} ... ...} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \vec{u}_{1}$$

と表される． よって 座標 $(1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$ は それぞれ $(1/2,1/2)_{\Sigma'},(1/2,-1/2)_{\Sigma'},(0,1)_{\Sigma'}$ となる．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13